Feladat: 1957. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1957/szeptember, 6 - 7. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Maradékos osztás, Prímszámok, OKTV
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/szeptember: 1957. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromjegyű osztandó és a kétjegyű osztó jegyeit x, y, z, ill. u, v-vel jelölve, a feltételek a következő alakban írhatók:

100x+10y+z=(10u+v)(u+v)+10v+u,(1)100z+10y+x=(10v+u)(u+v)+10u+v,(2)
és mivel a maradék kisebb, mint az osztó, kell, hogy
u>v(3)
legyen. Az (1)-ből levonva a (2)-t
99(x-z)=9(u-v)(u+v)+9(v-u)=9(u-v)(u+v-1)(4)
adódik, azaz
11(x-z)=(u-v)(u+v-1).
A jobb oldal osztható 11-gyel. De u-v nem lehet osztható 11-gyel, mert mint számjegyek különbsége, 10-nél kisebb, és (3) szerint pozitív. A 11 viszont prímszám, s így tudjuk, hogy ha osztója egy szorzatnak, akkor osztója valamelyik tényezőnek is. Így u+v-1 osztható 11-gyel, de 2⋅11-nél kisebb, mert u és v számjegyek, és 0 sem lehet, mert akkor ‐ figyelembe véve (3)-at is ‐ 10u+v=10 volna, ami nem megoldása a feladatnak. Így u+v-1=11, azaz
u+v=12,(5)
és (1)-ből
100x+10y+z=(10u+v)⋅12+10v+u=(9u+12)⋅12+120-10u+u=264+99u.


A bal oldal kisebb, mint 1000, tehát
99u≤999-264,u≤72599=73299.
A (3) egyenlőséget és (5)-öt figyelembe véve, innen u=7, v=5 adódik. Ezt beírva (1) és (2) jobb oldalába
 

(10u+v)(u+v)+10v+u=75⋅12+57=957,
(10v+u)(u+v)+10u+v=57⋅12+75=759.
 

Így azt kaptuk, hogy a feladatnak egy megoldása van, melyben az osztandó 957, az osztó 75.
 

Megjegyzés: Az (5) összefüggés birtokában közvetlenül meg tudjuk állapítani x, y és z-t is. Összeadva az (1) és (2) egyenlőségeket, és felhasználva (5)-öt
101(x+z)+20y=11(u+v)(u+v)+11(u+v)=(6)=11(u+v)(u+v+1)=1716.

A bal oldal 20-szal osztva (x+z)-t, a jobb 16-ot ad maradékul, tehát e két szám csak 20 egy többszörösében különbözhet, de mivel x és z számjegyek azért
x+z=16(7)
kell, hogy legyen, és ezt (6)-ba írva
y=5
adódik. (4)-ből és (3)-ból következik, hogy szükségképpen
x>z.
16 két különböző egyjegyű összeadandóra csak 9+7 alakban bontható, tehát x=9, y=5, z=7, ebből (1) vagy (2) és (5) alapján u és v is meghatározható. A föntebb követett gondolatmenet azonban gyorsabban vezetett el a megoldáshoz.