Kezdőlap


Feladat:	1957. évi Matematika OKTV II. forduló 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1957/szeptember, 5 - 6. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos függvények, Nevezetes azonosságok, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/szeptember: 1957. évi Matematika OKTV II. forduló 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Kifejezzük a második tagot is 2 alapú logaritmussal. A logaritmus definíciója szerint, ha $a \neq 1$ ,

\begin{matrix} a^{{log}_{}^{a} 16} = 16. \end{matrix}

Ennek 2 alapú logaritmusát véve

\begin{matrix} {log}_{}^{a} 16 \cdot {log}_{}^{2} a = 4, vagyis {log}_{}^{a} 16 = \frac{4}{{log}_{}^{2} a} . \end{matrix}

Így az egyenlőtlenség bal és jobb oldalának, különbsége

\begin{matrix} \frac{1}{{log}_{}^{2} a} + \frac{{log}_{}^{2} a}{4} - 1 = \frac{4 + {({log}_{}^{2} a)}^{2} - 4 {log}_{}^{2} a}{4 {log}_{}^{2} a} = \frac{{({log}_{}^{2} a - 2)}^{2}}{4 {log}_{}^{2} a} \end{matrix}

Ez nem negatív, ha

{log}_{}^{2} a

pozitív, azaz, ha

a > 1

, és ezt kellett bizonyítani.

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha

{log}_{}^{2} a = 2

, azaz

a = 4

II. megoldás: Vizsgáljuk valamivel általánosabban az

\begin{matrix} \frac{1}{{log}_{}^{b} a} + \frac{1}{{log}_{}^{a} c} \end{matrix}

összeget, ahol vagy

a

b

c > 1

vagy

0 < a

b

c < 1

áll fenn. Jelöljük a két nevezőt

u

-val és

v

-vel, akkor a feltevés szerint

u

és

v

pozitív, s így a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \geq 2 \sqrt[]{\frac{1}{u v}} . \end{matrix}

Mivel a logaritmus értelmezése szerint

\begin{matrix} b^{u} = a, a^{v} = c, ezért b^{u v} = {(b^{u})}^{v} = a^{v} = c . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} u v = {log}_{}^{b} c, \end{matrix}

tehát azt nyertük, hogy a mondott feltételek esetén

\begin{matrix} \frac{1}{{log}_{}^{b} a} + \frac{1}{{log}_{}^{a} c} \geq \frac{2}{\sqrt[]{{log}_{}^{b} c}} . \end{matrix}

b = 2

c = 16

esetén a bizonyítandó egyenlőtlenséget adja.