Kezdőlap


Feladat:	1957. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1957/május, 137 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglalapok, Nevezetes azonosságok, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/május: 1957. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tekintsünk két tetszőleges, egyenlő kerületű téglalapot. Legyenek az oldalak $a$ , $b$ , ill. $c$ , $d$ , ahol $a + b = c + d$ .
A feladat szerint megalkotva mindkettőből az 5 téglalapból álló idomot, ezek területe egyenlő :

\begin{matrix} a b + 2 (a \cdot \frac{a}{n} + b \cdot \frac{b}{n}) = c d + 2 (c \cdot \frac{c}{n} + d \cdot \frac{d}{n}), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a b + \frac{2 a^{2} + 2 b^{2}}{n} = c d + \frac{2 c^{2} + 2 d^{2}}{n} . \end{matrix}

Mindkét oldalt

n

-nel szorozva, és rendezve

\begin{matrix} n (a b - c d) = 2 [c^{2} + d^{2} - (a^{2} + b^{2})] = \\ = 2 [{(c + d)}^{2} - {(a + b)}^{2} - 2 c d + 2 a b] . \end{matrix}

Mivel a feltétel szerint

c + d = a + b

, azért

\begin{matrix} n (a b - c d) = 2 (2 a b - 2 c d) = 4 (a b - c d), \end{matrix}

és így feltéve, hogy

a b - c d \neq 0

\begin{matrix} n = 4. \end{matrix}

a b - c d = 0

, akkor az

a + b = c + d = s

jelölést használva,

b = s - a

d = s - c

, és így

\begin{matrix} a (s - a) - c (s - c) = a s - a^{2} - c s + c^{2} = s (a - c) - (a^{2} - c^{2}) = \\ = (a - c) (s - a - c) = 0, \end{matrix}

ahonnan, vagy

c = a

, vagy

c = s - a

. Mindkét esetben a két téglalap egybevágó, és

n

értéke ez esetben tetszőleges.

II. megoldás: Legyenek a téglalap oldalai

a

és

b

. A feladat szerint képezett 5 téglalapból álló idom területe

\begin{matrix} T = a b + \frac{2 a^{2}}{n} + \frac{2 b^{2}}{n} . \end{matrix}

Adjunk a jobboldalhoz

\frac{4 a b}{n} - \frac{4 a b}{n}

-et, hogy behozhassuk az állandó

a + b

kifejezést:

\begin{matrix} T = a b + \frac{2 a^{2}}{n} + \frac{4 a b}{n} + \frac{2 b^{2}}{n} - \frac{4 a b}{n} = \frac{2 (a^{2} + 2 a b + b^{2})}{n} + a b - \frac{4 a b}{n} = \\ = \frac{2 {(a + b)}^{2}}{n} + a b (1 - \frac{4}{n}) . \end{matrix}

Ha feltesszük, hogy

a + b

állandó, akkor a jobboldal első tagja nem függ a téglalap alakjától, a második tag azonban akkor és csakis akkor nem függ külön-külön az

a

és

b

oldaltól (vagyis a téglalap alakjától), ha értéke 0, vagyis (mivel

a b \neq 0

)

\begin{matrix} 1 - \frac{4}{n} = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} n = 4. \end{matrix}

Ez esetben

T

állandó értéke

\begin{matrix} \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \end{matrix}

Megjegyzések: 1. A feladatot megoldó versenyzők legnagyobb része az 1. megoldás szerint dolgozott, de a diszkussziót (

a b - c d = 0

esetén) már kevés versenyző végezte el. A II. megoldás szerint dolgozók pedig legtöbbnyire csak arra mutattak rá, mindjárt a

T = a b + \frac{2 a^{2}}{n} + \frac{2 b^{2}}{n}

alakban, hogy

n = 4

esetén

T = \frac{1}{2} {(a + b)}^{2}

állandó, és egyáltalán nem törődtek azzal, hogy nem lehet-e

T

más

n

értékekre is független a téglalap alakjától.
2. Több versenyző rámutatott arra, hogy a feladat minden nehézség nélkül általánosítható a

90^{\circ}

-os téglalapról

α

szögű paralelogrammára, oly módon, hogy az oldal

n

-ed részével toldjuk meg mindkét irányban a szomszédos oldalt. Ez esetben az 5 téglalap mindegyikének területe, és így

T

is, az

n

-től független

sin α

állandóval szorzódik.