Kezdőlap


Feladat:	1956. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/szeptember, 7 - 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szinusztétel alkalmazása, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/szeptember: 1956. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A megoldásnak egy természetesen kínálkozó (ha nem is legegyszerűbb) módja, hogy megoldjuk a feltételi egyenletrendszert és a nyert gyökök értékeit behelyettesítjük a bizonyítandó egyenlőségekbe.

A feltételi egyenleteket rendre

a

b

c

-vel szorozva

\begin{matrix} a^{2} = a b z + a c y; & (1) \\ b^{2} = b c x + a b z; & (2) \\ c^{2} = a c y + b c x . & (3) \end{matrix}

(2)-ből

a b z

értékét, (3)-ból

a c y

értékét (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c x . \end{matrix}

Innen, ha

b \neq 0

c \neq 0

, akkor

\begin{matrix} x = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 1 - x^{2} = \frac{4 b^{2} c^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}{4 b^{2} c^{2}} = \\ = \frac{4 b^{2} c^{2} - (a^{4} + b^{4} + c^{4} + 2 b^{2} c^{2} - 2 a^{2} b^{2} - 2 a^{2} c^{2})}{4 b^{2} c^{2}} = \\ = \frac{2 (a^{2} b^{2} + a^{2} b^{2} c^{2} + c^{2}) - (a^{4} + b^{4} + c^{4})}{4 b^{2} c^{2}} \end{matrix}

és így, ha

x \neq \pm 1

\begin{matrix} \frac{a^{2}}{1 - x^{2}} = \frac{4 a^{2} b^{2} c^{2}}{2 (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}) - (a^{4} + b^{4} + c^{4})} . \end{matrix}

Ebben az alakban nyilvánvaló, hogy

a

b

c

és

x

y

z

egyidejű ciklikus felcserélésével a baloldal átmegy

\frac{b^{2}}{1 - y^{2}}

, illetőleg

\frac{c^{2}}{1 - z^{2}}

-be, míg a jobboldal önmagába megy át. Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk, arra az esetre, ha

x \neq \pm 1

y \neq \pm 1

és

z \neq \pm 1

a \neq 0

b \neq 0

c \neq 0

.
Vizsgáljuk meg, mi a helyzet a kizárt esetekben.
1. Ha

b = c = 0

, akkor az első egyenletből

a = 0

. Ez az eset figyelmen kívül hagyható.
Ha pl.

c = 0

b \neq 0

, akkor az első két egyenletből

\begin{matrix} z = \frac{a}{b} = \frac{b}{a} . \end{matrix}

Innen

z = \pm 1

és a harmadik egyenletből

\begin{matrix} y = \pm \frac{a}{b} x = \mp x \end{matrix}

(vagy mindkét helyen a felső, vagy mindkét helyen az alsó előjel veendő)

x

tetszőleges lehet. Ez esetben tehát a következményben szereplő első két tört egyenlő, a harmadik értelmetlen.
2. Ha

a \neq 0

b \neq 0

c \neq 0

, de pl.

x = \pm 1

, akkor kell, hogy az

1 - x^{2}

-re kapott tört kifejezés számlálója 0 legyen. Mivel pedig az az

a

b

c

fölcserélésével nem változik, így egyszersmind

1 - y^{2} = 1 - z^{2} = 0

adódik, tehát a feladat következményében szereplő mindhárom tört értelmetlen.

II. megoldás: Kiküszöbölve

z

-t (1)-ből és (2)-ből, nyerjük, hogy

\begin{matrix} c (a y - b x) = a^{2} - b^{2} . \end{matrix}

Ebbe

c

értékét 3-ból behelyettesítve

\begin{matrix} a^{2} - b^{2} = (a y + b x) (a y - b x) a^{2} y^{2} - b^{2} x^{2} . \end{matrix}

Ez így is írható

\begin{matrix} a^{2} (1 - y^{2}) = b^{2} (1 - x^{2}), \end{matrix}

ami egyenértékű a bizonyítandó első egyenlőséggel. Hasonlóan kapjuk a második egyenlőséget.

Megjegyzés: Az I. megoldásban felismerjük, hogy amennyiben

a

b

c

valamely háromszög oldalainak mértékszámai, akkor

x

éppen

cos α

.
A feltételi egyenletek ez esetben a következőkbe mennek át:

\begin{matrix} a = b cos γ + c cos β, b = c cos α + a cos γ, c = a cos β + b cos α . \end{matrix}

Ez az oldalak előállítása a másik két oldal vetületeként. A bizonyítandó állításban pedig a sinus-tételt ismerhetjük fel.
Ez a trigonometriai összefüggés csak speciális esete a feladat állításának, mert a bizonyított tételünk akkor is érvényes, ha

a

b

c

tetszésszerinti számok.
E trigonometriai összefüggésre több versenyző rámutatott. Volt olyan is, aki ‐ mint láttuk, tévesen ‐ a trigonometriai összefüggést a feladat állításával egyenértékűnek vette, és ennek alapján vélte a kívánt bizonyítást szolgáltatni.