Kezdőlap


Feladat:	1956. évi Matematika OKTV I. forduló 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/május, 133 - 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szinusztétel alkalmazása, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/május: 1956. évi Matematika OKTV I. forduló 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a visszaverődési pontokat $Q$ és $R$ -rel (4. ábra).

4. ábra

P Q R Δ

egyenlőszárú és a szimmetria viszonyoknál fogva

P O ⊥ Q R

. A beesési merőleges (a visszaverődési pontban a körérintőre merőleges egyenes) jelen esetben a

Q O

körsugár. Legyen az

O Q P ∢ = O Q R ∢ = α

, a

P O

egyenes metszéspontja

Q R

-re legyen

S

, a keresett

O P Q ∢

-et jelöljük

x

-szel. Akkor

O S = sin α

, továbbá a feladat szerint

O Q = 1

, és

O P = \frac{1}{2}

.
Felhasználva a szögfelező-tételt

\begin{matrix} \frac{O S}{O P} = \frac{Q S}{Q P}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 2 sin α = cos 2 α . \end{matrix}

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 1 - 2 sin^{2} α

, amely értéket a jobboldal helyére írva, és rendezve a

\begin{matrix} 2 sin^{2} α + 2 sin α - 1 = 0 \end{matrix}

(1)

goniómetriai egyenlethez jutunk. Ennek egyik gyöke 1-nél nagyobb abszolút értékű, a használható gyök

\begin{matrix} sin α = \frac{\sqrt[]{3} - 1}{2} \approx 0, 3660, és így α = 21^{\circ} 28' . \end{matrix}

(A tompaszögű megoldás ismét nem jön tekintetbe.)
Tehát a keresett szög

\begin{matrix} x = 90^{\circ} - 2 α = 90^{\circ} - 42^{\circ} 56' = 47^{\circ} 4' . \end{matrix}

II. megoldás: A szögfelező-tétel felhasználása nélkül is többféleképpen juthatunk az (1) egyenlethez. A legegyszerűbben úgy, hogy az

O P Q

háromszögre alkalmazzuk a sinus-tételt:

\begin{matrix} sin x : sin α = 1 : \frac{1}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} sin x = 2 sin α . \end{matrix}

(2)

sin x = sin (90 - 2 α) = cos 2 α = 1 - sin^{2} α

, amely értékét (2)-be írva, nyerjük az (1) alatti egyenletet.

Megjegyzés: Azzal a triviális esettel, midőn a golyót a

P O

irányban lökjük el és az már egy (és tetszés szerinti számú) visszaverődés után halad át ismét a

P

ponton, nem kell foglalkozni, mert ezt az esetet a feladat szövege tulajdonképpen kizárja.