Kezdőlap


Feladat:	1956. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/május, 129 - 131. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/május: 1956. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A 7 nevezőjű törtek sorozata ( $a$ -t és $b$ -t is közéjük sorolva)

\begin{matrix} \frac{7 a}{7}, \frac{7 a + 1}{7}, \frac{7 a + 2}{7}, ..., \frac{7 b - 1}{7}, \frac{7 b}{7} . \end{matrix}

(1)

Azonban e, sorozat tagjai közül

\begin{matrix} \frac{7 a}{7}, \frac{7 a + 7}{7}, ..., \frac{7 b}{7} \end{matrix}

egyszerűsíthető törtek, s a következő alakban írhatók

\begin{matrix} a, a + 1, ..., b . \end{matrix}

(2)

a

és

b

közé eső, 7 nevezőjű, nem egyszerűsíthető törtek összegét az (1) és (2) számsorozatok összegének különbsége adja.
Az (1) sorozat olyan számtani sorozat, amelynek első tagja

a

, különbsége

\frac{1}{7}

utolsó tagja

b

. Ezekből az adatokból a tagok számát az

n

-edik tag ismert képlete felhasználásával nyerhetjük:

\begin{matrix} b = a + (n - 1) \frac{1}{7}, ahonnan n = 7 b - 7 a + 1. \end{matrix}

Így az (1) sorozat összege az összegképlet alapján:

\begin{matrix} S' = \frac{(7 b - 7 a + 1) (b + a)}{2} . \end{matrix}

A (2) sorozat az

a

-val kezdődő és

b

-vel végződő természetes számok sorozata, ezért összegére közvetlenül adódik

\begin{matrix} s = \frac{(b - a + 1) (b + a)}{2} . \end{matrix}

Tehát a keresett tulajdonságú törtek összege

\begin{matrix} S = S' - s = \frac{(b + a) (7 b - 7 a + 1 - b + a - 1)}{2} = \frac{(b + a) (6 b - 6 a)}{2} = 3 (b^{2} - a^{2}) . \end{matrix}

II. megoldás:

a

és

a + 1

közé eső, 7 nevezőjű, 6 törtszám összege

\begin{matrix} (a + \frac{1}{7}) + (a + \frac{2}{7}) + ... + (a + \frac{6}{7}) = 6 a + \frac{21}{7} = 6 a + 3. \end{matrix}

Minden következő számközben a törtszámok egy-egy egységgel nőnek, tehát a 6 törtszám összege 6-tal nő.
Az

a

és

b

közé eső, 7 nevezőjű, nem egyszerűsíthető törtek összege ezért olyan számtani sorozat összege, amelynek első tagja

6 a + 3

, különbsége 6, tagjainak száma

b - a

.
Tehát az összegképlet alapján nyerjük

\begin{matrix} S = \frac{b - a}{2} [2 (6 a + 3) + (b - a - 1) 6] = (b - a) (6 a + 3 + 3 b - 3 a - 3) = \\ = (b - a) (3 a + 3 b) = 3 (b^{2} - a^{2}) . \end{matrix}

III. megoldás: A számításba jövő, nem egyszerűsíthető törtek ugyan nem alkotnak számtani sorozatot, de összegüket először a tagok növekedő, azután fogyó sorrendjében egymás alá írva:

\begin{matrix} S = (a + \frac{1}{7}) + (a + \frac{2}{7}) + ... + (a + \frac{6}{7}) + (a + \frac{8}{7}) + ... + (b - \frac{2}{7}) + (b - \frac{1}{7}), \\ S = (b - \frac{1}{7}) + (b - \frac{2}{7}) + ... + (b - \frac{6}{7}) + (b - \frac{8}{7}) + ... + (a + \frac{2}{7}) + (a + \frac{1}{7}) . \end{matrix}

Az egymás alatt álló tagok összege mindig

b + a

, és két szomszédos egész szám között 6 ilyen tagpár van. Így nyerjük, hogy

\begin{matrix} 2 S = (b - a) \cdot 6 \cdot (b + a) = 6 (b^{2} - a^{2}), vagyis S = 3 (b^{2} - a^{2}) . \end{matrix}