Kezdőlap


Feladat:	1955. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1955/szeptember, 5 - 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Nevezetes azonosságok, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 1955. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás:

\begin{matrix} {(x + y)}^{4} & = 6 x^{2} y^{2} - 215, & (1) \\ x y (x^{2} + y^{2}) & = - 78 & (2) \end{matrix}

(2) így is irható:

\begin{matrix} x y {(x + y)}^{2} = 2 x^{2} y^{2} - 78. \end{matrix}

(3)

(2) alapján

x y \neq 0

, szorozhatjuk tehát (1)-et

x^{2} y^{2}

-tel, (3)-at pedig emeljük négyzetre

\begin{matrix} x^{2} y^{2} {(x + y)}^{4} & = 6 x^{4} y^{4} - 215 x^{2} y^{2}, & (4) \\ x^{2} y^{2} {(x + y)}^{4} & = {(2 x^{2} y^{2} - 78)}^{2} . & (5) \end{matrix}

(4) és (5)-ből következik, hogy a két jobboldal egyenlő. Vezessük be az

x^{2} y^{2} = z

jelölést és vegyük észre, hogy ha

x

és

y

valósak, akkor

z > 0

\begin{matrix} 6 z^{2} - 215 z = {(2 z - 78)}^{2} = 4 z^{2} - 312 z + 6084, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 2 z^{2} + 97 z - 6084 = 0, \end{matrix}

(6)

amiből a pozitív gyök

\begin{matrix} z = 36. \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} z = x^{2} y^{2} = 36, \end{matrix}

és mivel (2) alapján

x y < 0

, azért

\begin{matrix} x y = - 6. \end{matrix}

(7)

Így (3)-ból

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = \frac{72 - 78}{- 6} = 1, \end{matrix}

(8)

vagyis

\begin{matrix} x + y = \pm 1. \end{matrix}

(9)

(9)-ből

y = - x \pm 1

; ezt az értéket (7)-be helyettesítve

\begin{matrix} - x^{2} + x + 6 = 0 \end{matrix}

(10)

ill.

\begin{matrix} - x^{2} - x + 6 = 0 \end{matrix}

(11)

(10)-ből

x_{1} = 3

x_{2} = - 2

, (11)-ből

x_{3} = - 3

x_{4} = 2

, és így (7)-ből

\begin{matrix} y_{1} = - 2, y_{2} = 3, y_{3} = 2, y_{4} = - 3. \end{matrix}

Megjegyzés: A (6) alatti egyenlethez még az alábbi módon is juthatunk.
Írjuk (1)-et a következőképpen

\begin{matrix} x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} = 6 x^{2} y^{2} - 215, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} x^{4} + y^{4} + 4 x y (x^{2} + y^{2}) = - 215, \end{matrix}

és így (2) figyelembevételével

\begin{matrix} x^{4} + y^{4} = - 4 (- 78) - 215 = 312 - 215 = 97. \end{matrix}

(12)

(2)-t négyzetre emelve

\begin{matrix} x^{2} y^{2} (x^{4} + y^{4} + 2 x^{2} y^{2}) = 6084. \end{matrix}

(12) figyelembevételével és

x^{2} y^{2}

helyébe

z

-t írva a (6) egyenlethez jutunk.

II. megoldás: Legyen

{(x + y)}^{2} = u

és

x y = v

, akkor

x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y = u - 2 v

, és egyenletrendszerünk így alakul

\begin{matrix} u^{2} - 6 v^{2} + 215 & = 0, & (1) \\ v (u - 2 v) + 78 & = u v - 2 v^{2} + 78 = 0. & (2) \end{matrix}

Vegyük észre, hogy ha

x

és

y

valósak, akkor

u \geq 0

. (2) háromszorosából (1)-et kivonva

\begin{matrix} 3 u v - u^{2} + 19 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v = \frac{u^{2} - 19}{3 u} . \end{matrix}

(3)

Ezt az értékét (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} u^{2} - 6 \frac{u^{4} - 38 u^{2} + 361}{9 u^{2}} + 215 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} u^{4} + 721 u^{2} - 722 = 0, \end{matrix}

és innen az egyetlen pozitív gyök

\begin{matrix} u = 1. \end{matrix}

(3)-ból

\begin{matrix} v = \frac{1 - 19}{3} = - 6. \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} x + y = \sqrt[]{u} = \pm 1, \\ x y = v = - 6. \end{matrix}

Tovább úgy történhetik a számítás, mint az I. megoldásban.

III. megoldás: Felhasználva az I. megoldás (12) alatti

\begin{matrix} x^{4} + y^{4} = 97, \end{matrix}

valamint az előző megoldásokból az

\begin{matrix} x^{2} y^{2} = 36, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{4} y^{4} = 1296 \end{matrix}

egyenleteket, látjuk, hogy

x^{4}

és

y^{4}

\begin{matrix} t^{2} - 97 t + 1296 = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlet két gyöke; ezek pedig

\begin{matrix} t_{1} = 81, t_{2} = 16. \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} x^{4} = 81 és y^{4} = 16, vagy fordítva x^{4} = 16 és y^{4} = 81, \end{matrix}

ahonnan (

x y < 0

figyelembevételével) az előbbi megoldásokban szereplő négy valós gyökpár adódik.