A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ismeretesek a következő oszthatósági tételek: Ha természetes szám, akkor
E tételeket felhasználva többféleképpen is bizonyíthatjuk feladatunk állítását.
I. megoldás: Jelöljük az adott kifejezést -nel, a) Ha páros, vagyis (ahol ), akkor írjuk -et a következő alakban | |
A jobboldal első tagja (1) alapján osztható -cal, a második tagban a zárójeles tényező (2) alapján osztható 3+1=4-gyel, vagyis a második tag osztható -cal.
b) Ha páratlan, vagyis (ahol , 1, 2, ), akkor esetén , minden más esetben pedig | |
Ez esetben tehát nemcsak az első tag osztható 24-gyel, hanem a második tag is osztható -gyel. Tehát 1-nél nagyobb páratlan esetén, kifejezésünk nemcsak 8-cal, hanem 24-gyel is osztható.
II. megoldás: a) Ha (ahol , 2, 3, ), akkor így is írható:
A jobboldal első tagja (2) alapján osztható -cal, a második tag pedig (1) alapján -cal. b) Ha (ahol , 1, 2, ), akkor | | amiből az előbbi esethez teljesen hasonlóan következik, hogy osztható 8-cal.
Megjegyzés: Sok versenyző a kéttagúak hatványának polinom előállítását használta fel, azonban ‐ mint láttuk ‐ a kevesebb előismeretet feltételező (1) és (2) alatti oszthatósági tételek is elegendők. Még ezek is mellőzhetők, ha teljes indukciót alkalmazunk.
III. megoldás: -re a bizonyítandó állítás igaz, mert . Tegyük fel, hogy osztható 8-cal, akkor elegendő azt bizonyítani, hogy is osztható 8-cal.
A zárójeles kifejezés, mint két páratlan szám összege, páros szám, és így osztható -cal. |