Kezdőlap


Feladat:	1955. évi Matematika OKTV II. forduló 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1955/szeptember, 3 - 5. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Teljes indukció módszere, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 1955. évi Matematika OKTV II. forduló 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretesek a következő oszthatósági tételek:
Ha $n$ természetes szám, akkor

\begin{matrix} a^{n} - b^{n} osztható (a - b) -vel, & (1) \\ a^{n} + b^{n} osztható (a + b) -vel, ha n páratlan . & (2) \end{matrix}

E tételeket felhasználva többféleképpen is bizonyíthatjuk feladatunk állítását.

I. megoldás: Jelöljük az adott kifejezést

F (n)

-nel,
a) Ha

n

páros, vagyis

n = 2 k

(ahol

k = 1,2,3 ...

), akkor írjuk

F (n)

-et a következő alakban

\begin{matrix} F (2 k) = (5^{2 k} - 1) + 2 (3^{2 k - 1} + 1) . \end{matrix}

A jobboldal első tagja (1) alapján osztható

(5^{2} - 1^{2}) = 24 = 3 \cdot 8

-cal, a második tagban a zárójeles tényező (2) alapján osztható 3+1=4-gyel, vagyis a második tag osztható

2 \cdot 4 = 8

-cal.

b) Ha

n

páratlan, vagyis

n = 2 k + 1

(ahol

k = 0

, 1, 2,

...

), akkor

k = 0

esetén

F (1) = 5 + 2 + 1 = 8

, minden más esetben pedig

\begin{matrix} F (2 k + 1) = 5^{2 k + 1} - 5 + 2 \cdot 3^{2 k} + 6 = 5 (5^{2 k} - 1) + 6 (3^{2 k - 1} + 1) . \end{matrix}

Ez esetben tehát nemcsak az első tag osztható 24-gyel, hanem a második tag is osztható

6 \cdot 4 = 24

-gyel. Tehát 1-nél nagyobb páratlan

n

esetén, kifejezésünk nemcsak 8-cal, hanem 24-gyel is osztható.

II. megoldás: a) Ha

n = 2 k

(ahol

k = 1

, 2, 3,

...

), akkor

F (n)

így is írható:

\begin{matrix} F (2 k) = 5 \cdot 5^{2 k - 1} + 5 \cdot 3^{2 k - 1} - 3 \cdot 3^{2 k - 1} + 1 = \\ = 5 (5^{2 k - 1} + 3^{2 k - 1}) - (9^{k} - 1) . \end{matrix}

A jobboldal első tagja (2) alapján osztható

5 + 3 = 8

-cal, a második tag pedig (1) alapján

9 - 1 = 8

-cal.
b) Ha

n = 2 k + 1

(ahol

k = 0

, 1, 2,

...

), akkor

\begin{matrix} F (2 k + 1) = 5^{2 k + 1} + (3 - 1) 3^{2 k} + 1 = (5^{2 k + 1} + 3^{2 k + 1}) - (9^{k} - 1), \end{matrix}

amiből az előbbi esethez teljesen hasonlóan következik, hogy

F (n)

osztható 8-cal.

Megjegyzés: Sok versenyző a kéttagúak hatványának polinom előállítását használta fel, azonban ‐ mint láttuk ‐ a kevesebb előismeretet feltételező (1) és (2) alatti oszthatósági tételek is elegendők. Még ezek is mellőzhetők, ha teljes indukciót alkalmazunk.

III. megoldás:

n = 1

-re a bizonyítandó állítás igaz, mert

F (1) = 8

.
Tegyük fel, hogy

F (k)

osztható 8-cal, akkor elegendő azt bizonyítani, hogy

F (k + 1) - F (k)

is osztható 8-cal.

\begin{matrix} F (k + 1) - F (k) = (5^{k + 1} + 2 \cdot 3^{k} + 1) - (5^{k} + 2 \cdot 3^{k - 1} + 1) = \\ = 5 \cdot 5^{k} + 6 \cdot 3^{k - 1} + 1 - 5^{k} - 2 \cdot 3^{k - 1} - 1 = 4 (5^{k - 1} + 3^{k - 1}) . \end{matrix}

A zárójeles kifejezés, mint két páratlan szám összege, páros szám, és így

F (k + 1) - F (k)

osztható

4 \cdot 2 = 8

-cal.