Feladat: 1955. évi Matematika OKTV I. forduló 3. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1955/május, 134 - 136. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Együttes munkára vonatkozó feladatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, OKTV
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/május: 1955. évi Matematika OKTV I. forduló 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen az adott munka egységnyi. Tegyük fel, hogy a munkát
Ax óra alatt végezné el, tehát 1 óra alatt 1x munkát teljesít,
By óra alatt végezné el, tehát 1 óra alatt 1y munkát teljesít.
Együttesen tehát 1 óra alatt 1x+1y=x+yxy munkát teljesítenek, az egész munkát tehát 1: x+yxy=xyx+y óra alatt végeznék el együttesen.
A23y óráig dolgozott, és ezalatt 2y3⋅1x=2y3x munkát végzett el, és B-re hagyott 1-2y3x=3x-2y3x munkát.
Ha együttesen dolgoztak volna, Axyx+y óra alatt xyx+y⋅1x=yx+y munkát teljesített volna és ez a feladat szerint fele az A által ténylegesen B-re hagyott munkának, vagyis
2yx+y=3x-2y3x.(1)

B a reáhagyott munkát y⋅3x-2y3x=3xy-2y23x óra alatt végezte el. A feladat szerint A és B egymás utáni munkaidejének összege 2 órával haladja meg azt a munkaidőt, amely alatt együttesen végeznék el a munkát. Tehát
2y3+3xy-2y23x=xyx+y+2(2)

(1)-et rendezve
3x2-5xy-2y2=0.

Ezt az egyenletet x-re megoldva nyerjük (az x=-y3 gyöktől, mint értelmetlentől, eltekintve), hogy
x=2y.
(Természetesen ugyanazt kapjuk y2-tel való osztás után, az xy-ra adódó másodfokú egyenletből is.)

x ezen értékét (2)-be helyettesítve
4y3=2y3+2,
amiből y-3, és így x=2y=6.
Tehát A6, B3 óra alatt végezné el a munkát egyedül.
 

II. megoldás: Alább adunk egy megoldást, amelyben az (1) egyenletben csak egy ismeretlen fordul elő, a (2) egyenletet pedig következtetés pótolja.
A szövegben szereplő második kapcsolat nem tartalmaz abszolút adatokat, csak annak arányára vonatkozik, ahogyan A és B osztozik a végzett munkában, így várható, hogy ez az arány meg is határozható belőle. Tegyük fel, hogy egyenlő idő alatt Bλ-szor annyi munkát végez el mint A. Ekkor együtt dolgozva az egész munka 1:λ arányban oszlik meg A és B közt, tehát A az egész munka 11+λ-ad részét végzi el, B a λ1+λ-ad részét. Valójában A annyi ideig dolgozott, amennyi alatt B az egész munka 23-át végezné el. Mivel ő B munkájának az 1λ-szorosát végzi el, így az egész munkának 23λ-ad részét végezte el ténylegesen s így 1-23λ-nyi részét hagyta B-re. A szöveg szerint ez kétszerese annak a munkának, ami B-vel együtt dolgozva A-ra jutott volna, tehát
1-23λ=21+λ,(3λ-2)(1+λ)=6λ,3λ2-5λ-2=0.

A negatív gyököt, mint értelmetlent elhagyva, innen λ=2. Ez azt jelenti, hogy együtt dolgozva A a munka 13-át, B a 23-át végezné el. Ha tehát A23-annyi ideig dolgozott, mint amennyi idő alatt B az egész munkát elvégezné, akkor egyszersmind annyi ideig dolgozott, amennyi idő alatt együttesen elvégezték volna a munkát és ezalatt a munka 13 részét végezte el. Így B a szöveg első részéből következően 2 órát dolgozott és a munka 23 részét végezte el, tehát 3 óra alatt végezné el az egész munkát. Mivel pedig B kétszer annyi munkát végez, mint amennyit A ugyanezen idő alatt végezne, így A6 óra alatt készülne el az egész munkával.