Kezdőlap


Feladat:	1955. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1955/május, 130 - 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Számtani sorozat, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/május: 1955. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a keresett szorzatot $P_{n}$ -nel.

\begin{matrix} P_{n} = a_{1} a_{2} ... a_{n} = a_{1} \cdot a_{1} q \cdot a_{1} q^{2} ... a_{1} q^{n - 1} = a_{1}^{n} \cdot q^{1 + 2 + ... + (n - 1)} . \end{matrix}

q

kitevőjében levő számtani sorozat összege

\frac{(n - 1) n}{2}

, és így

\begin{matrix} P_{n} = a_{1}^{n} q^{\frac{(n - 1) n}{2}} = a_{1}^{n} {(q^{n - 1})}^{\frac{n}{2}} . \end{matrix}

(1)

Mivel

a_{1} q^{n - 1} = a_{n}

, azért

\begin{matrix} q^{n - 1} = \frac{a_{n}}{a_{1}}, \end{matrix}

mely értéket (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} P_{n} = a_{1}^{n} \frac{{a_{n}}^{\frac{n}{2}}}{{a_{1}}^{\frac{n}{2}}} = {a_{1}}^{\frac{n}{2}} {a_{n}}^{\frac{n}{2}} = {(a_{1} a_{n})}^{\frac{n}{2}} . \end{matrix}

Megjegyzés: Az (1) alatti kifejezés a következőképpen is átalakítható

\begin{matrix} a_{1}^{n} {(q^{n - 1})}^{\frac{n}{2}} = {(a_{1}^{2} q^{n - 1})}^{\frac{n}{2}} = {(a_{1} \cdot a_{1} q^{n - 1})}^{\frac{n}{2}} = {(a_{1} a_{n})}^{\frac{n}{2}} . \end{matrix}

II. megoldás:

\begin{matrix} P_{n} = a_{1} \cdot a_{1} q \cdot a_{1} q^{2} ... a_{1} q^{k - 1} ... a_{1} q^{n - 1} \end{matrix}

(1)

a mértani sorozat tagjait mint tényezőket

a_{n}

-től kezdve fordított sorrendbe írva

\begin{matrix} P_{n} = a_{n} \cdot \frac{a_{n}}{q} \cdot \frac{a_{n}}{q^{2}} ... \frac{a_{n}}{q^{k - 1}} ... \frac{a_{n}}{q^{n - 1}} . \end{matrix}

(2)

(1) és (2) szorzata úgy képezhető, hogy az egymás alatt álló tényezőket páronként összeszorozzuk. Tehát

\begin{matrix} P_{n}^{2} = (a_{1} a_{n}) (a_{1} a_{n}) ... (a_{1} a_{n}) ... (a_{1} a_{n}) = {(a_{1} a_{n})}^{n}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} P_{n} = \sqrt[]{{(a_{1} a_{n})}^{n}} = {(a_{1} a_{n})}^{\frac{n}{2}} \end{matrix}