Kezdőlap


Feladat:	1954. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1954/szeptember, 6 - 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szöveges feladatok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Teljes indukció módszere, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/szeptember: 1954. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a szétosztandó diók száma $d$ , ekkor az első tanuló

\begin{matrix} a + \frac{d - a}{30} = \frac{d}{30} + \frac{29}{30} a \end{matrix}

diót kap, a másodiknak jutó diók mennyisége pedig

\begin{matrix} 2 a + \frac{d - \frac{d}{30} - \frac{29}{30} a - 2 a}{30} = \frac{29}{30^{2}} d + (2 \frac{29}{30} - \frac{29}{30^{2}}) a = \frac{29}{30^{2}} d + \frac{29 \cdot 59}{30^{2}} a . \end{matrix}

Ha tehát az első két tanuló ugyanannyi diót kapott, akkor

\begin{matrix} \frac{d}{30} + \frac{29}{30} a = \frac{29}{30^{2}} d + \frac{29 \cdot 59}{30^{2}} a, azaz \frac{d}{30^{2}} = \frac{29^{2}}{30^{2}} a, d = 29^{2} a, \end{matrix}

és az első két tanuló egyenként

\begin{matrix} a + \frac{d - a}{30} = a + \frac{(29^{2} - 1) a}{30} = a + \frac{28 \cdot 30}{30} a = 29 a \end{matrix}

diót kapott. Teljes indukcióval bizonyitjuk, hogy a többinek is ugyanennyi dió jut. Legyen

k > 2

és tegyük fel, hogy már az első

k - 1

tanulóról beláttuk, hogy nekik egyenként

29 a

dió jutott. Ekkor maradt meg

d - (k - 1) 29 a = 29 (30 - k) a

dió, így a

k

-adik tanulónak

\begin{matrix} k a + \frac{29 (30 - k) a - k a}{30} = \frac{30 k a + 29 \cdot 30 a - 29 k a - k a}{30} = 29 a \end{matrix}

dió jut. Így valóban sorban minden diák

29 a

diót kap. Ennek folytán

29 a^{2}

számú dióból 29 diáknak tudunk adni, tehát 29-en vannak az osztályban.

Megjegyzés: Szó szerint ugyanilyen meggondolással látható, hogy ha nem 30-ad részét, hanem tetszésszerinti

b

-ed részét (

b > 1

) vesszük mindig a maradéknak, akkor

d^{2} = {(b - 1)}^{2} a

számú diónak kell kezdetben lennie ahhoz, hogy az első és a második diáknak ugyanannyi dió jusson, ekkor mindegyiküknek, és velük együtt a további diákoknak is (

b - 1) a

dió jut, egészen a

(b - 1)

-edikig, aki megkapja az összes még meglévő diót. A feladat további általánosítása lesz leolvasható a következő megoldásból.

II. megoldás: Legyen a kiosztandó diók száma

d

, kapjon a

k

-adik tanuló

k a

diót és még a maradék

b

-ed részét, a

k

-adik tanulónak jusson ilyen módon

c^{k}

dió és legyen a visszamaradó diók száma

d_{k}

, jelentse

d_{0}

d

-t. Ekkor

\begin{matrix} d_{k - 1} = c_{k} + d_{k} k = 1,2, ... . \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} c_{1} = a + \frac{d - a}{b} = \frac{b}{d} + \frac{b - 1}{b} a, c_{2} = 2 a + \frac{d_{1} - 2 a}{b} = \frac{d_{1}}{b} - 2 \frac{b - 1}{b} a, \end{matrix}

általában

\begin{matrix} c_{k} = k a + \frac{d_{k - 1} - k a}{b} = \frac{d_{k = 1}}{b} + k \frac{b - 1}{b} a k = 1,2, ... \end{matrix}

(2)

Vizsgáljuk két egymásutáni tanulónak jutó mennyiség különbségét, használjuk rá a

D_{k} = c_{k + 1} - c_{k}

jelölést:

\begin{matrix} D_{k} = \frac{d_{k} - d_{k - 1}}{b} + \frac{b - 1}{b} a = \frac{b - 1}{b} a - \frac{c_{k}}{b} \end{matrix}

(1) szerint, s igy két szomszédos különbség különbségében már

a

nem fog szerepelni:

\begin{matrix} D_{k + 1} - D_{k} = - \frac{c_{k + 1} - c_{k}}{b} = - \frac{D_{k}}{b}, azaz D_{k + 1} = \frac{b - 1}{b} D_{k} . \end{matrix}

Azt nyertük tehát, hogy a

D_{k}

különbségek mértani sorozatot alkotnak. Ennek hányadosa

\frac{b - 1}{b} > 0

, mert

b > 1

. Eszerint az egymásutáni diákoknak jutó diómenynyiség vagy állandóan csökken, vagy állandóan növekszik, vagy mindannyian egyenlő számú diót kapnak.
A feladat állítása tehát így általánositható: ha van két diák, akik egyenlő mennyiségű diót kaptak, akkor mindenkinek ugyanannyi dió jutott.
Hogy a három eshetőség közül melyik következik be, az

D_{1}

előjelétől, illetve 0 voltától függ. Mivel

\begin{matrix} D_{1} = \frac{b - 1}{b} a - \frac{c_{1}}{b} = \frac{(b - 1) b}{b^{2}} a - \frac{d}{b^{2}} - \frac{b - 1}{b^{2}} a = \frac{{(b - 1)}^{2}}{b^{2}} a - \frac{d}{b^{2}} = \\ = \frac{{(b - 1)}^{2} a - d}{b^{2}} \end{matrix}

tehát az egymásutáni diómennyiségek aszerint nőnek, csökkennek, vagy lesznek egyenlők, amint

\begin{matrix} d < {(b - 1)}^{2} a, vagy d > {(b - 1)}^{2} a, vagy d = {(b - 1)}^{2} a . \end{matrix}

k

-adik tanulónak

\begin{matrix} c_{k} = c_{1} + D_{1} + D_{2} + ... + D_{k - 1} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{d}{b} + \frac{b - 1}{b} a + D_{1} [1 + \frac{b - 1}{b} + ... + {(\frac{b - 1}{b})}^{k - 2}] = \\ = \frac{d}{b} + \frac{b - 1}{b} a + \frac{{(b - 1)}^{2} a - d}{b^{2}} \cdot \frac{1 - {(\frac{b - 1}{b})}^{k - 1}}{\frac{1}{b}} = \\ = \frac{d}{b} + \frac{b - 1}{b} a + \frac{{(b - 1)}^{2} a - d}{b} - \frac{{(b - 1)}^{2} a - d}{b} \cdot {(\frac{b - 1}{b})}^{k - 1} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} c_{k} & = \frac{b - 1 + b^{2} - 2 b + 1}{b} a - \frac{{(b - 1)}^{2} a - d}{b} {(\frac{b - 1}{b})}^{k} \frac{b}{b - 1} = \\ = (b - 1) a - \frac{{(b - 1)}^{2} a - d}{b - 1} \cdot {(\frac{b - 1}{b})}^{k} . \end{matrix}

dió jut az általános esetben egészen azon

n

-edik tanulóig, akinek a részét kiadva már

(n + 1) a

diónál kevesebb marad vissza. Ennek feltételéül az általános esetben meglehetősen áttekinthetetlen egyenlőtlenség adódik.