A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Készítsünk vázlatot, a középső párhuzamos távolság a másik kettőtől legyen és , a középső egyenes messe -t a pontban (a jelöléseket az 1. ábra mutatja). Ekkor nyilván . 1. ábra Ennek alapján a szerkesztés menete: az adott háromszögben megszerkesztjük a -t arányban osztó pontot (2. ábra). 2. ábra -ben és -ben párhuzamost húzunk -vel, már a keresett ábrához hasonlót kapunk. Ezt kell szükség szerint nyújtani, vagy zsugorítani az adott egyeneseknek megfelelően. Ez például úgy tehető meg, hogy a középső párhuzamos egyenesre rámásoljuk az távolságot és e fölé mint közös oldal fölé, átmásoljuk a 2. ábrából a , ill szélességű síksáv oldalaira az , ill. háromszögeket. Így egy az eredetileg megadott háromszöggel egybevágó -et nyerünk (3. ábra). 3. ábra Messe az oldal a szélességű síksáv külső szélét -ben, és húzzunk -n át -vel párhuzamost, amely az -t -ben, az -t -ben metszi. Az így nyert az -nek az pontból arányban való nagyítása (ill. kicsinyítése) és miatt a pont szükségképpen a szélességű síksáv külső szélén fekszik. Tehát az eleget tesz követelményeinknek. Tetszés szerint választhatjuk ki, hogy melyik csúcs megfelelője melyik egyenesre essék, tehát -féle megoldás lehetséges. Az ezekből tükrözéssel és eltolással keletkező megoldások már mind egybevágóak e háromszög valamelyikével s így nem adnak azoktól lényegesen különböző megoldást.
II. megoldás. A pontot úgy vihetjük át -be, hogy elforgatjuk körül a szöggel és közben arányban meg is nyújtjuk, (vagy rövidítjük, legyen az adott háromszög). Mivel e mozgások adatai függetlenek a keresett megoldástól, a feladatot megoldhatjuk forgatva nyújtással. Válasszunk pl. a középső egyenesen tetszőlegesen egy pontot és e körül forgassuk el a felső egyenest szöggel és egyidejűleg nyújtsuk -ból arányban (4. ábra). 4. ábra A kapott egyenes messe az alsó párhuzamost -ben és szerkesszük meg a felső egyenes azon pontját, mely a forgatva nyújtásnál -be ment át. Az -nál lévő szöge és az ezt közrezáró oldalak aránya megegyezik az háromszög megfelelő adataival, tehát valóban hasonló a két háromszög.
III. megoldás: Készítsünk vázlatot. Rajzoljuk meg a háromszög köré írt kört, messe ez a középső párhuzamost -n kívűl még a pontban. Ekkor a kerületi szögek tétele szerint Ennek alapján a szerkesztés, ha az adott háromszög : a középső egyenes tetszés szerinti pontjában rámérjük ezen egyenes egyik félegyenesének két oldalára az , ill. szögeket (5. ábra). 5. ábra Messék ezek a megfelelő párhuzamos egyenest -ben, ill. -ben. Mérjük rá végül -re -ben a -et ellenkező oldalára mint amelyiken van. Messe ez a középső párhuzamost -ban. Az távolsága és pontokból egyenlő szög alatt látszik, s így húrnégyszög. Ebből következik, hogy , tehát az szögeiben megegyezik az adott -gel, s így hasonló hozzá. |
|