Kezdőlap


Feladat:	1954. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1954/május, 129 - 130. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/május: 1954. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő megmutatni, hogy a két oldal különbsége nem lehet negatív. Alakítsuk át e különbséget:

\begin{matrix} (a + b) (a^{4} + b^{4}) - (a^{2} + b^{2}) (a^{3} + b^{3}) = a^{4} b - a^{3} b^{2} - a^{2} b^{3} + a b^{4} = \\ = a b [a^{2} (a - b) + b^{2} (b - a)] = a b (a - b) (a^{2} - b^{2}) = a b (a + b) {(a - b)}^{2} \end{matrix}

Ez akkor nem negatív, ha

a b (a + b)

nem negatív, ami pedig teljesül, ha sem

a

sem

b

nem negatív, továbbá akkor is, ha

a

és

b

különböző előjelűek, mégpedig közülük a nagyobb abszolút értékű negatív.

Megjegyzés: Azáltal, hogy

a b

, ill.

a + b

-vel nem osztottunk, módunk nyílt a feladat követelményein túlmenő megállapításokat tenni. Természetes, ha csak a feladat állítását akarjuk bizonyítani, akkor lehet

a b

és

a + b

-vel osztani, de akkor nem elég rámutatni, hogy az osztó

\neq 0

-val, hanem az osztó előjele is lényeges; továbbá meg kell vizsgálni mindenkor, hogy egyenértékű átalakításokat végeztünk-e, vagy pedig megmutatni, hogy a nyert helyes eredményből visszafelé következtetve egyértelműen jutunk a kiinduláshoz. (Lásd a beszámoló zárómegjegyzéseit is.)