A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Azon értékek jönnek csak számításba, amelyekre | |
Rendezve az egyenletet | | vagyis | | helyett mindenütt -et írva és rendezve | | A páratlan fokú tagokból -et, ill. -et kiemelve | | A baloldalon kiemelhető : | | Innen vagy vagy (1)-ből vagy (2)-ből vagyis amiből ( helyébe -et írva és rendezve) | | (5) | Egyelőre csak a főértékekre szorítkozva (3)-ból
(4)-ből
(5)-ből
Mivel nem mindig hajtottunk végre egyenértékű (ekvivalens) átalakításokat (pl. négyzetre emeltünk), azért meg kell vizsgálnunk, vajon a nyert gyökök kielégítik-e eredeti egyenletünket. A (6) és (9) alatti gyökök éppen a kizárt értékek. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy a (11) alatti gyök nem tesz eleget egyenletünknek, amíg a többi gyök tényleg kielégíti egyenletünket. Tehát a keresett gyökök főértékei nagyságrendben: | |
Természetesen e főértékekhez többszöröseit hozzáadva vagy kivonva, ugyancsak gyököket nyerünk. Tehát az összes gyökök ( és et egy képletbe összefoglalva):
II. megoldás: Azok az -ek jönnek csak tekintetbe, melyekre Emeljük az egyenlet mindkét oldalát négyzetre, ekkor | | folytán az egyenletben csak szögfüggvényei fognak szerepelni. Az egyenletet -ra redukálva és alkalmasan átalakítva:
Itt (1) szerint az utolsó tényező nem lehet , tehát csak a egyenletek megoldásai jönnek számításba. A közben előbbi az , , , értékekre, utóbbi pedig az , értékekre teljesül. Ezek közül az eredeti egyenletnek csak értékek gyökei és természetesen minden olyan érték, amely ezek valamelyikétől -vel különbözik, ahol .
III. megoldás: Az átalakításokat kissé ügyesebben is végezhetjük: ha | | akkor
Rendezve az egyenletet | | tehát vagy vagy (1)-ből, mivel és nem tűnhet el egyszerre, s így az egyenlet megoldásaira egyik tag sem , | | (2)-ből
Itt vagy | | azaz vagy pedig amiből | | azaz A nyert értékek megoldást szolgáltatnak, mert ekvivalens átalakításokat végeztünk.
IV. megoldás: Induljunk ki a III. megoldásban nyert | | alakból. Itt
és | | tehát az egyenlet | | Írjunk -t, ekkor | | és az egyenlet így alakul tehát vagy Az elsőből a másodikból azaz | | ahol . Minden átalakítás ekvivalens átalakítás volt, így mindezen értékek gyököket szolgáltatnak.
|