Kezdőlap


Feladat:	1953. évi Matematika OKTV I. forduló 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1953/május, 136 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok, Nevezetes azonosságok, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/május: 1953. évi Matematika OKTV I. forduló 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Azon $x$ értékek jönnek csak számításba, amelyekre

\begin{matrix} 1 - sin 2 x \neq 0, vagyis x \neq \frac{π}{4} \pm k π (k = 0,1,2, ...) . \end{matrix}

Rendezve az egyenletet

\begin{matrix} (sin x + cos x) (1 - 2 sin x cos x) - cos^{2} x + sin^{2} x = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} sin x + cos x - 2 sin^{2} x cos x - 2 sin x cos^{2} x - cos^{2} x + sin^{2} x = 0 \end{matrix}

sin^{2} x

helyett mindenütt

1 - cos^{2} x

-et írva és rendezve

\begin{matrix} sin x - cos x + 2 cos^{3} x - 2 sin x cos^{2} x - 2 cos^{2} x + 1 = 0. \end{matrix}

A páratlan fokú tagokból

sin x

-et, ill.

cos x

-et kiemelve

\begin{matrix} sin x (1 - 2 cos^{2} x) + cos x (2 cos^{2} x - 1) - 2 cos^{2} x + 1 = 0 \end{matrix}

A baloldalon kiemelhető

2 cos^{2} x - 1

\begin{matrix} (2 cos^{2} x - 1) (cos x - sin x - 1) = 0. \end{matrix}

Innen vagy

\begin{matrix} 2 cos^{2} x - 1 = 0, \end{matrix}

(1)

vagy

\begin{matrix} cos x - sin x - 1 = 0. \end{matrix}

(2)

(1)-ből

\begin{matrix} cos x = \frac{1}{\sqrt[]{2}}, \end{matrix}

(3)

vagy

\begin{matrix} cos x = - \frac{1}{\sqrt[]{2}} . \end{matrix}

(4)

(2)-ből

\begin{matrix} cos x = 1 + sin x \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} cos^{2} x = 1 + 2 sin x + sin^{2} x, \end{matrix}

amiből (

cos^{2} x

helyébe

1 - sin^{2} x

-et írva és rendezve)

\begin{matrix} 2 sin^{2} x + 2 sin x = 2 sin x (sin x + 1) = 0 \end{matrix}

(5)

Egyelőre csak a főértékekre szorítkozva
(3)-ból

\begin{matrix} x = \frac{π}{4}, & (6) \\ x = \frac{7 π}{4}, & (7) \end{matrix}

(4)-ből

\begin{matrix} x = \frac{3 π}{4}, & (8) \\ x = \frac{5 π}{4}, & (9) \end{matrix}

(5)-ből

\begin{matrix} x = 0, & (10) \\ x = π, & (11) \\ x = \frac{3 π}{2} . & (12) \end{matrix}

Mivel nem mindig hajtottunk végre egyenértékű (ekvivalens) átalakításokat (pl. négyzetre emeltünk), azért meg kell vizsgálnunk, vajon a nyert gyökök kielégítik-e eredeti egyenletünket.
A (6) és (9) alatti gyökök éppen a kizárt értékek. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy a (11) alatti gyök nem tesz eleget egyenletünknek, amíg a többi

4

gyök tényleg kielégíti egyenletünket.
Tehát a keresett gyökök főértékei

(0 \leq x < 2 π)

nagyságrendben:

\begin{matrix} x_{1} = 0 = 0^{\circ}, x_{2} = \frac{3 π}{4} = 135^{\circ}, x_{3} = \frac{3 π}{2} = 270^{\circ}, x_{4} = \frac{7 π}{4} = 315^{\circ} . \end{matrix}

Természetesen e főértékekhez

2 π = 360^{\circ}

többszöröseit hozzáadva vagy kivonva, ugyancsak gyököket nyerünk. Tehát az összes gyökök (

x_{2}

és

x_{4}

et egy képletbe összefoglalva):

\begin{matrix} x = & \pm 2 k π = \pm k \cdot 360^{\circ}, x = \frac{3 π}{4} \pm k π = 135^{\circ} \pm k \cdot 180^{\circ}, \\ x = \frac{3 π}{2} \pm 2 k π = 270^{\circ} \pm k \cdot 360^{\circ}, ahol k = 0,1,2, ... \end{matrix}

II. megoldás: Azok az

x

-ek jönnek csak tekintetbe, melyekre

\begin{matrix} 1 - sin 2 x \neq 0. \end{matrix}

(1)

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát négyzetre, ekkor

\begin{matrix} {(sin x + cos x)}^{2} = sin^{2} x + 2 sin x cos x + cos^{2} x = 1 + sin 2 x \end{matrix}

folytán az egyenletben csak

2 x

szögfüggvényei fognak szerepelni. Az egyenletet

0

-ra redukálva és alkalmasan átalakítva:

\begin{matrix} (1 + sin 2 x) {(1 - sin 2 x)}^{2} - cos^{2} 2 x = (1 - sin^{2} 2 x) (1 - sin 2 x) - cos^{2} 2 x = \\ = (1 - sin^{2} 2 x) (1 - sin 2 x) - (1 - sin^{2} 2 x) = - sin 2 x (1 - sin^{2} 2 x) = \\ = - sin 2 x (1 + sin 2 x) (1 - sin 2 x) = 0 & (2) \end{matrix}

Itt (1) szerint az utolsó tényező nem lehet

0

, tehát csak a

\begin{matrix} sin 2 x = 0 és sin 2 x = - 1 \end{matrix}

egyenletek megoldásai jönnek számításba.
A

0 \leq x < 2 π

közben előbbi az

x = 0

\frac{π}{2}

π

\frac{3 π}{2}

értékekre, utóbbi pedig az

x = \frac{3 π}{4}

\frac{7 π}{4}

értékekre teljesül. Ezek közül az eredeti egyenletnek csak

\begin{matrix} x = 0, \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4} \end{matrix}

értékek gyökei és természetesen minden olyan

x

érték, amely ezek valamelyikétől

\pm 2 k π

-vel különbözik, ahol

k = 1,2, ...

III. megoldás: Az átalakításokat kissé ügyesebben is végezhetjük: ha

\begin{matrix} cos x \neq sin x, azaz tg x \neq 1, x \neq \frac{π}{4} \pm k π, (k = 0,1,2, ...) \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} sin x + cos x & = \frac{cos^{2} x - sin^{2} x}{1 - 2 sin x cos x} = \frac{(cos x - sin x) (cos x + sin x)}{cos^{2} x - 2 sin x cos x + sin^{2} x} = \frac{cos x + sin x}{cos x - sin x} . \end{matrix}

Rendezve az egyenletet

\begin{matrix} (sin x + cos x) (cos x - sin x - 1) = 0, \end{matrix}

tehát vagy

\begin{matrix} sin x + cos x = 0 \end{matrix}

(1)

vagy

\begin{matrix} cos x - sin x - 1 = 0 \end{matrix}

(2)

(1)-ből, mivel

cos x

és

sin x

nem tűnhet el egyszerre, s így az egyenlet megoldásaira egyik tag sem

0

\begin{matrix} tg x = - 1, x = - \frac{π}{4} \pm k π (k = 0,1,2, ...) . \end{matrix}

(2)-ből

\begin{matrix} 1 - cos x = - sin x, 2 sin^{2} \frac{x}{2} = - 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}, \\ 2 sin \frac{x}{2} (sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}) = 0. \end{matrix}

Itt vagy

\begin{matrix} sin \frac{x}{2} = 0, \frac{x}{2} = \pm k π (k = 0,1,2, ...), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x = \pm 2 k π (k = 0,1,2, ...), \end{matrix}

vagy pedig

\begin{matrix} sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2} = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} tg \frac{x}{2} = - 1, \frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \pm k π (k = 0,1,2, ...) \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x = - \frac{π}{2} \pm 2 k π (k = 0,1,2, ...) . \end{matrix}

A nyert értékek megoldást szolgáltatnak, mert ekvivalens átalakításokat végeztünk.

IV. megoldás: Induljunk ki a III. megoldásban nyert

\begin{matrix} sin x + cos x = \frac{sin x + cos x}{cos x - sin x} \end{matrix}

alakból.
Itt

\begin{matrix} sin x + cos x = \sqrt[]{2} \frac{\sqrt[]{2}}{2} sin x + \sqrt[]{2} \frac{\sqrt[]{2}}{2} cos x = \sqrt[]{2} (sin \frac{π}{4} cos x + cos \frac{π}{4} sin x) = \\ = \sqrt[]{2} \cdot sin (\frac{π}{4} + x), \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{sin x + cos x}{cos x - sin x} = \frac{sin x cos \frac{π}{4} + cos x sin \frac{π}{4}}{cos x cos \frac{π}{4} + sin x sin \frac{π}{4}} = \frac{sin (\frac{π}{4} + x)}{cos (\frac{π}{4} + x)}, \end{matrix}

tehát az egyenlet

\begin{matrix} \sqrt[]{2} \cdot sin (\frac{π}{4} + x) = \frac{sin (\frac{π}{4} + x)}{cos (\frac{π}{4} + x)} . \end{matrix}

Írjunk

\frac{π}{4} + x = y

-t, ekkor

(mivel feltételeztük,hogy x \neq \frac{π}{4} \pm k π)

\begin{matrix} y \neq \frac{π}{2} \pm k π (k = 0,1,2, ...), azaz cos y \neq 0, \end{matrix}

és az egyenlet így alakul

\begin{matrix} sin y (\sqrt[]{2} cos y - 1) = 0, \end{matrix}

tehát vagy

\begin{matrix} sin y = 0, vagy cos y = \frac{1}{\sqrt[]{2}} . \end{matrix}

Az elsőből

\begin{matrix} y = \pm k π (k = 0,1,2, ...), \end{matrix}

a másodikból

\begin{matrix} y = \pm \frac{π}{4} \pm 2 k π (k = 0,1,2, ...), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x = - \frac{π}{4} \pm k π, vagy x = \pm 2 k π, vagy x = - \frac{π}{2} \pm 2 k π, \end{matrix}

ahol

k = 0,1,2, ...

.
Minden átalakítás ekvivalens átalakítás volt, így mindezen értékek gyököket szolgáltatnak.