Feladat: 1953. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1953/május, 129 - 131. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Egész együtthatós polinomok, OKTV
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/május: 1953. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az első egyenletből

y(x+1)+x+5=0.
Itt x nem lehet -1, így y-t kifejezhetjük:
y=-x+5x+1.
Ezt a második egyenletbe helyettesítve és rendezve az
x4+5x3-11x2-37x-6=0
egyenlethez jutunk. Vizsgáljuk meg, hogy van-e ennek racionális gyöke. Tudjuk, hogy ha van ilyen megoldás, akkor annak számlálója az állandó tagnak, -6-nak, nevezője pedig a legmagasabb fokú tag együtthatójának, tehát esetünkben 1-nek osztója. Így csak az x=±1, ±2, ±3 és ±6 értékek jöhetnek számításba. Kipróbálva azt találjuk, hogy -2 és 3 valóban gyök is. Így az egyenlet baloldalából kiemelhetőnek kell lennie az ezekhez tartozó gyöktényezők szorzatának, az
(x+2)(x-3)=x2-x-6
polinomnak és valóban negyedfokú egyenletünk baloldala így írható:
(x2-x-6)(x2+6x+1).

Így a már megtalált gyökökön kívül gyökei még az egyenletnek az
x2+6x+1=0
egyenlet gyökei. Az összes gyökök tehát
x1=-2,x2=3,x3=-3+22,x4=-3-22.
és a megfelelő y-értékek:
y1=3,y2=-2,y3=-3-22,y4=-3+22.

 

Kimutatás az 1953. évi Rákosi Mátyás matematikai verseny I. fordulójáról  megyék és iskolafajok szerintBeadott dolgozatokDöntőbe került  Megyék és BudapestGim-Ip.GimnáziumIp. techn.ÖsszesennáziumTechn.Összesen11. Baranya93391327‐712. Bács-Kiskún914954‐413. Békés147191661021214. Borsód1424218444815. Csongrád9461155841216. Fejér2713402‐217. Győr-Sopron1071912618‐1818. Hajdu-Bihar1002512541519. Heves2910394‐410. Komárom100261269‐911. Nógrád2512373‐312. Pest682703‐313. Somogy236294‐414. Szabolcs‐Szatmár6816842‐215. Szolnok106511151616. Tolna83‐83‐‐‐17. Vas11831212‐218. Veszprém10051059‐919. Zala286343‐320. Budapest1011701081641276Összesen2560383294316524189

 

 


II. megoldás: A második egyenlet így írható
xy(x+y)+6=0
és vegyük észre, hogy az u=x+y és v=xy kifejezések összege és szorzata van megadva:
u+v=-5,uv=-6.
u és v tehát a
t2+5t-6=0
egyenlet két gyöke, vagyis
u1=-5+72=1,v1=-5-72=-6,
vagy fordítva
u2=-6,v2=1.
Mivel ezek jelentése x+y, ill. xy, tehát x és y a
z2-z-6=0
és a
z2+6z+1=0
egyenlet két gyöke lehet. Az első egyenletből
x1=3,y1=-2;x2=-2,y2=3.
A második egyenletből

x3=-3+22,y3=-3-22;x4=-3-22,y4=-3+22.