Kezdőlap


Feladat:	1952. évi Matematika OKTV II. forduló 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dömölki Bálint , Kántor Sándor , Keresztély Sándor , Szekerka Pál
Füzet:	1952/szeptember, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/szeptember: 1952. évi Matematika OKTV II. forduló 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Bebizonyítandó tételünk így is írható:

\begin{matrix} 3 + \frac{c}{a - b} (\frac{b - c}{a} + \frac{c - a}{b}) + \frac{a}{b - c} (\frac{a - b}{c} + \frac{c - a}{b}) + \\ + \frac{b}{c - a} (\frac{a - b}{c} + \frac{b - c}{a}) = 9, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{c}{a - b} \cdot \frac{b^{2} - b c + a c - a^{2}}{a b} + \frac{a}{b - c} \cdot \frac{a b - b^{2} + c^{2} - a c}{b c} + \\ + \frac{b}{c - a} \cdot \frac{a^{2} - a b + b c - c^{2}}{a c} = \frac{c}{a - b} \cdot \frac{- (a + b) (a - b) + c (a - b)}{a b} + \\ + \frac{a}{b - c} \cdot \frac{- (b + c) (b - c) + a (b - c)}{b c} + \frac{b}{c - a} \cdot \frac{- (c + a) (c - a) + b (c - a)}{a c} = \\ = \frac{c [- (a + b) + c]}{a b} + \frac{a [- (b + c) + a]}{b c} + \frac{b [- (c + a) + b]}{a c} = 6 \end{matrix}

Mivel a feltétel szerint

- (a + b) = c

- (b + c) = a

és

- (c + a) = b

, azért

\begin{matrix} \frac{2 c^{2}}{a b} + \frac{2 a^{2}}{b c} + \frac{2 b^{2}}{a c} = 2 \cdot \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{a b c} = 6, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{a b c} = 3. \end{matrix}

(1)

Ennek helyességét kell tehát bizonyítanunk. Feltételünk szerint

c = - (a + b)

, és így

\begin{matrix} \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{a b c} = - \frac{a^{3} + b^{3} - {(a + b)}^{3}}{a b (a + b)} = - \frac{a^{3} + b^{3} - a^{3} - 3 a^{2} b - 3 a b^{2} - b^{3}}{a b (a + b)} = \\ \frac{3 a b (a + b)}{a b (a + b)} = 3. \end{matrix}

Ezzel tételünket bebizonyítottuk.

Jegyzet: Az adott feltételek mellett az (1) alatti azonosság még így is bizonyítható:

\begin{matrix} {(a + b + c)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 {(a + b)}^{2} c + 3 (a + b) c^{2} + c^{3} = \\ = a^{3} & + b^{3} + c^{3} + 3 a b (a + b) + 3 {(a + b)}^{2} c + 3 (a + b) c^{2} = 0, és mivel a + b = \\ = - c, & azért \end{matrix}

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c + 3 c^{3} - 3 c^{2} = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c . \end{matrix}

II. megoldás: Az

a

b

c

, számok mind különbözők és egyike sem lehet

0

, mert különben az adott szorzat értelmetlen.
Jelöljük a szorzat első tényezőjét

A

-val, második tényezőjét

B

-vel.

\begin{matrix} A = \frac{(a - b) a b + (b - c) b c + (c - a) a c}{a b c} = \\ = \frac{a^{2} b - a b^{2} + b^{2} c - b c^{2} + a c^{2} - a^{2} c}{a b c} = \frac{a^{2} (b - c) - a (b^{2} - c^{2} + b c (b - c)}{a b c} = \\ \frac{(b - c) [a^{2} - a (b + c) + b c]}{a b c} = \frac{(b - c) (a - b) (a - c)}{a b c} = - \frac{(a - b) (b - c) (c - a)}{a b c} . \end{matrix}

\begin{matrix} B = \frac{c (b - c) (c - a) + a (a - b) (c - a) + b (a - b) (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} = \\ = - \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} - a^{2} b - a b^{2} - a^{2} c - a c^{2} - b^{2} c - b c^{2} + 3 a b c}{(a - b) (b - c) (c - a)} \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} A B = \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} - a^{2} b - a b^{2} - a^{2} c - a c^{2} - b^{2} c - b c^{2} + 3 a b c}{a b c} . \end{matrix}

Adjuk hozzá a számlálóhoz az

{(a + b + c)}^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 a^{3} b + 3 a b^{2} + 3 a^{2} c + 3 a c^{2} + 3 b^{2} c + 3 b c^{2} + 6 a b c

kifejezést, amely a feltételünk szerint

0

-val egyenlő.

\begin{matrix} A B = \frac{2 (a^{3} + b^{3} + c^{3} + a^{2} b + a b^{2} + a^{2} c + a c^{2} + b^{2} c + b c^{2}) + 9 a b c}{a b c} = \\ = \frac{2 [a^{2} (a + b + c) + b^{2} (a + b + c) + c^{2} (a + b + c)] + 9 a b c}{a b c} \end{matrix}

Mivel tétetelünk szerint a számláló első tagja

0

, azért

\begin{matrix} A B = \frac{9 a b c}{a b c} = 9, ami bizonyítandó volt. \end{matrix}

Így végezte el a bizonyítást Szekerka Pál (Bp. VI. Kölcsey g. IV. o. t.)
Sok pályázó hivatkozott arra, hogy egy azám és reciprokának összege

≧ 2

, megfeledkezve arról, hogy ez csak pozitív számokra érvényes.