Kezdőlap


Feladat:	1952. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám András , Dömölki Bálint , Kántor Sándor , Keresztély Sándor
Füzet:	1952/szeptember, 10 - 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Egyenletrendszerek grafikus megoldása, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/szeptember: 1952. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a keresett $B C$ távolságot $x$ -szel és legyen a személy-, teher- és gyorsvonat sebessége rendre $c_{1}$ , $c_{2}$ , ill. $c_{3}$ km/perc. A diák megfigyelése szerint

\begin{matrix} \frac{5}{c_{1}} + \frac{5}{c_{2}} = 15, & (1) \\ \frac{5}{c_{2}} + \frac{5}{c_{3}} = 11. & (2) \end{matrix}

B C = x

távolságot a személyvonat

\frac{x}{c_{1}}

perc alatt teszi meg és ez alatt a tehervonat

\frac{10}{c_{2}}

percig van úton

B

-től

A

-ig, és utána a gyors

\frac{10 + x}{c_{3}}

percig

A

-tól

C

-ig, tehát

\begin{matrix} \frac{x}{c_{1}} = \frac{10}{c_{2}} + \frac{10 + x}{c_{3}} . \end{matrix}

(3)

Tehát

3

egyenletünk van

4

ismeretlennel, vagyis nem határozhatók meg mind az ismeretlenek, de jelen esetben

x

meghatározható, csak

c_{1}

c_{2}

és

c_{3}

marad határozatlan.
(1)-ből (2)-t kivonva

\begin{matrix} \frac{5}{c_{1}} - \frac{5}{c_{3}} = 4, amiből \frac{1}{c_{1}} - \frac{1}{c_{3}} = \frac{4}{5} . \end{matrix}

(4)

(2)-ből

\begin{matrix} \frac{1}{c_{2}} + \frac{1}{c_{3}} = \frac{11}{5}, \end{matrix}

(5)

(3)-ból

\begin{matrix} \frac{x}{c_{1}} - \frac{x}{c_{3}} = \frac{10}{c_{2}} + \frac{10}{c_{3}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x (\frac{1}{c_{1}} - \frac{1}{c_{3}}) = 10 (\frac{1}{c_{2}} + \frac{1}{c_{3}}) . \end{matrix}

(4) és (5) figyelembevételével

\begin{matrix} \frac{4}{5} x = 10 \cdot \frac{11}{5}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = \frac{110}{4} = 27, 5 km. \end{matrix}

II. megoldás: A diák megfigyelése szerint a személyvonat és a tehervonat egymásután 5 ‐ 5 km-t tesz meg összesen

15

perc alatt, míg a tehervonat és gyorsvonat ugyancsak 5 ‐ 5 km-t tesz meg egymásután összesen

11

perc alatt. Ebből következik, hogy a gyorsvonat 5 km-t 4 perccel rövidebb idő alatt tesz meg mint a személyvonat. A gyorsvonat az

A B

távolság

F

felező pontján

15 + 11 = 26

perccel a személyvonat után halad át. Mivel 5 km-ként hoz be 4 perc időhátrányt, azért 26 perc időhátrányt

6, 5 \cdot 5 km = 32, 5 km

után hoz be. Tehát

F C = 32, 5

km és így

B C = F C - F B = 32, 5 - 5 = 27, 5

km.

III. megoldás: Ábrázoljuk grafikusan a vonatok menetét. Először tüntessük fel az

A

pontból

0

perckor kiinduló személyvonat megtett km-eit, mint a

t

percek függvényét, tetszőleges sebesség mellett vagyis az

A P

egyenest tetszőleges szög alatt húzhatjuk (l. ábrát).

10

km megtevése után

B

-ből indul vissza a tehervonat

A

-ba ismét (bizonyos mértékig) tetszőleges sebességgel. A tehervonat

15

percel a személyvonat után ér az

5

km-hez, tehát ábránkon

P Q = 15

perc, amiből következik, hogy a tehervonat

A

-ba

30

perccel a személynek (

0

perckor történt) indulása után érkezik. (Ábránkról geometriailag leolvasható. Mivel a gyorsvonat sebességének pozitívnak és felülről korlátosnak kell lennie, azért a tehervonat sebessége sem egészen tetszőleges. Ha a gyorsvonat részére óránkénti

150

km-es sebességet veszünk felső határnak, akkor

5

km megtevésére a gyorsnak legalább

2

percre, a személynek pedig legalább

2 + 4 = 6

percre van szüksége, tehát az

5 P

távolság

≧ 6

perc. Ebből következik, hogy

P Q = 15

perc távolság legfeljebb az

5 P

távolság

2, 5

-szerese.)
A gyorsvonat a

30

-ik percben indul el, de ennek sebessége már meg van határozva az előbbi két tetszőlegesen felvett sebesség által, mert

11

perccel a tehervonat után kell az

5

km-hez érnie. Tehát

Q R = 11

perc, vagyis az

R

pont meg van határozva és így a gyorsvonat menetét feltüntető egyenes is meg van határozva. Ez utóbbinak a személyvonat menetét feltüntető egyenessel való metszéspontja

M (x, y)

M

-nek

y

ordinátája, mely km-eket jelent, ábránkról leolvasható, de könnyen pontosan ki is számítható ábránkból

\begin{matrix} y : (y - 5) = M A : M P = 30 : 26, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} 26 y = 30 y - 150, \end{matrix}

\begin{matrix} y = 37, 5 és így B C = y - 10 = 27, 5 km. \end{matrix}

Lényegében így oldotta meg a feladatot Ádám András (Hajdúszoboszló, Irinyi János g. IV. o. t.).