Kezdőlap


Feladat:	1952. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1952/szeptember, 5 - 6. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Kamatos kamat, Egyenletek grafikus megoldása, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/szeptember: 1952. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a terv előtti év termelése $T$ , akkor az első tervévben a termelés $T_{1} = T + \frac{6}{100} T = T \cdot 1, 06$ volt. A második tervévben a $T_{1}$ növekedett $8 %$ -kal, vagyis a termelés a 2. tervévben $T_{2} = T_{1} \cdot 1, 08 = T \cdot 1, 06 \cdot 1, 08$ . Ezt a $T_{2}$ termelést akarják emelni $3$ éven át, évente állandó $x %$ -kal úgy, hogy az utolsó tervévben a termelés $T_{5} = T_{2} {(1 + \frac{x}{100})}^{3}$ egyenlő legyen $T \cdot 1, 1^{5}$ -nel.
Ha az egyszerűség kedvéért $1 + \frac{x}{100}$ helyett $q$ -t írunk, akkor $T_{2} q^{3} = T \cdot 1, 06 \cdot 1, 08 \cdot q^{3} = T \cdot 1, 1^{5}$ ,
amiből

\begin{matrix} q^{3} = \frac{1, 1^{5}}{1, 06 \cdot 1, 08}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} q = \sqrt[3]{\frac{1, 1^{5}}{1, 06 \cdot 1, 08}} = 1, 121 \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x = 100 (q - 1) = 12, 1 % . \end{matrix}

Tehát a hátralevő

3

évben a termelést évente

12, 1 %

-kal kell emelni.

Megjegyzés: A szöveg úgy is értelmezhető, hogy az ötödik év termelése helyett, az öt évi össztermelésről van szó. Ez esetben (a

T

-vel való egyszerűsítés után, az

\begin{matrix} 1, 06 + 1, 06 \cdot 1, 08 (1 + q + q^{2} + q^{3}) = 1, 1 \frac{1, 1^{5} - 1}{0, 1} = 6, 71561 \end{matrix}

egyenlethez jutunk, amiből

\begin{matrix} q^{3} + q^{2} + q + 1 = \frac{6, 71561 - 1, 06}{1, 1448} = 4, 94 \end{matrix}

A jobboldali törtet

2

tizedes pontossággal kerekítettük, tekintve, hogy az egyenletet grafikusan fogjuk megoldani, és ebből nagyobb pontosságra aligha számíthattunk.
Ha mindkét oldalt

(q - 1)

-gyel szorozzuk, akkor

\begin{matrix} q^{4} - 1 = 4, 94 q - 4, 94, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} q^{4} = 4, 94 q - 3, 94. \end{matrix}

(q - 1)

-gyel való szorzás folytán ennek a

4

-edfokú egyenletnek ‐ mely grafikusan könnyen megoldható ‐ egyik gyöke

1

, a többi gyökei megegyeznek az eredeti harmadfokú egyenlet gyökeivel.
A grafikus megoldás szempontjából célszerű egyenletünk mindkét oldalát

10

-zel osztani:

\begin{matrix} 0, 1 q^{4} = 0, 494 q - 0, 394. \end{matrix}

Ábrázoljuk az

y_{1} = 0, 1 q^{4}

és

y_{2} = 0, 494 q - 0, 394

függvényeket:

\begin{matrix} \begin{matrix} q & 1 & 1, 1 & 1, 2 \\ y_{1} & 0, 1 & 0, 146 & 0, 208 \\ x_{2} & 0, 1 & 0, 149 & 0, 198 \end{matrix} \end{matrix}

Az ábrából leolvasható, hogy az egyenes a negyedrendű görbét a

q = 1

ponton kívül, még kb. a

q = 1, 1425

helyen metszi. (Könnyen meggyőződhetünk

4

-jegyű függvénytábla segítségével, hogy

q = 1, 141

-nél a negyedfokú függvény még az egyenes alatt van,

1, 144

-nél már biztosan felette van, tehát

1, 141 < q < 1, 144

.)
Tehát ez esetben az utolsó tervévben

14, 25 %

-kal kell évente emelni a termelést.