Kezdőlap


Feladat:	13. fizika mérési feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Furó István , Korcsmár Tamás , Polacsek Lajos , Újhelyi Sándor
Füzet:	1978/április, 188 - 191. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mechanikai mérés, Mágneses dipólusra ható erő, Mérési feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/december: 13. fizika mérési feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megoldók többsége kis mágnesrudak közötti erőhatást mért úgy, hogy a rudak hossztengelye egybeesett. A feladat legnagyobb problémája az erőmérés megvalósítása volt. A legpontosabb mérési lehetőségnek a kétkarú laboratóriumi mérleggel való erőmérés bizonyult.

1. ábra

Ujhelyi Sándor (Eger, Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.) mérési elrendezését mutatjuk be az 1. ábrán. A mérleget a mozgatható mágnes felszerelése előtt kiegyensúlyozta, majd felszerelte a mágnest. A két mágnesrúd közötti vonzóerő a mérleget kibillenti az egyensúlyi helyzetéből. Az egyensúly eléréséhez a serpenyőbe rakott testek súlya éppen a mágnesek közötti vonzóerővel egyenlő. A módszer hibája, hogy a mérleg egyensúlyi helyzete instabil, mert a mágnesrudak távolságától függ a mágneses vonzóerő. A problémát igen szellemesen oldotta meg Furó István (Nagykanizsa, Landler J. Gimn. IV. o. t.), aki a két mágnesrúd közé ismert vastagságú plexi- vagy falapot helyezett, és ennek a rendszernek a szétválasztásához szükséges súly adta meg a vonzóerő nagyságát.
A következő táblázat első két oszlopában Polacsek Lajos (Jászberény, Lehel Vezér Gimn. III. o. t.) mérési eredményeit tüntettük fel.

\begin{matrix} d(cm) & F(N) & F^{- 1 / 4} (N^{- 1 / 4}) & lg(d / d_{0}) & lg(F / F_{0}) \\ 8, 5 & 1, 25 & 0, 95 & 0, 929 & 0, 097 \\ 9, 0 & 0, 43 & 1, 23 & 0, 954 & - 0, 366 \\ 9, 5 & 0, 35 & 1, 30 & 0, 978 & - 0, 456 \\ 10, 0 & 0, 21 & 1, 48 & 1, 000 & - 0, 678 \\ 10, 5 & 0, 19 & 1, 51 & 1, 021 & - 0, 721 \\ 11, 0 & 0, 14 & 1, 63 & 1, 041 & - 0, 854 \\ 11, 5 & 0, 06 & 2, 02 & 1, 061 & - 1, 222 \\ 12, 0 & 0, 03 & 2, 40 & 1, 097 & - 1, 523 \end{matrix}

Itt

d

a két mágnesrúd középpontjának távolsága,

F

pedig a mért vonzóerő. (A mágnesek középpontjai ‐ a mágnesek nagysága miatt ‐ nem közelíthették meg jobban egymást

8, 5

cm-nél, továbbá 12 cm-nél távolabbi elhelyezéseknél a vonzóerő kisebb volt, mint a mérési érzékenység.) Polacsek Lajos rugós erőmérőt használt, a mérés így aránylag pontatlan volt, hibája néhány század newton. A mért vonzóerő távolságfüggését láthatjuk a 2. ábrán.

2. ábra

Kérdéses, hogy ez a függvény milyen matematikai függvénnyel közelíthető, illetve hogyan magyarázható fizikailag. Először számítsuk ki egy egyszerű modellből az erőhatást.

3. ábra

a

hosszúságú mágnesrudakat helyezzük el egymástól

d

távolságra a 3. ábrán látható módon. Tegyük fel, hogy a mágneses dipólusokat a mágnesrudak végein levő ellentétes előjelű mágneses "töltések'' alkotják. A Coulomb‐törvény szerint a töltések közötti erőhatás fordítottan arányos a töltések távolságának négyzetével, így a két mágnesrúd közötti vonzóerő

\begin{matrix} F = \frac{k}{{(d - a)}^{2}} + \frac{k}{{(d + a)}^{2}} - \frac{2 k}{d^{2}}, \end{matrix}

ahol a

k

arányossági tényező a mágneses dipólmomentum ‐ azaz a mágneses "töltés'' és a mágnesrúd

a

hosszának szorzata ‐ és a mágneses Coulomb‐törvényben szereplő arányossági tényező szorzata. Próbáljuk meg egyszerűbb, áttekinthetőbb alakra hozni ezt a függvényt. Közös nevezőre hozás és rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} F = \frac{6 d^{2} a^{2} - 2 a^{4}}{d^{6} - 2 d^{4} a^{2} + d^{2} a^{4}} . \end{matrix}

A függvényt úgy egyszerűsíthetjük tovább, ha feltételezzük, hogy a mágnesek messze vannak egymástól, vagyis

a ≪ d

. Ekkor képletünk nevezőjében és számlálójában is az első tag dominál, a többi elhagyható. Eredményünk

\begin{matrix} F = \frac{6 a^{2}}{d^{4}}, \end{matrix}

azaz

a ≪ d

esetén az erő a távolság negyedik hatványával fordítottan arányos. A fenti táblázat mérési eredményeit ez a közelítés semmiképpen sem írhatja le, hiszen az

a ≪ d

közelítés még távolról sem érvényesül. Mégis, bemutatjuk, hogyan lehet a feltételezett

d^{- 4}

-es távolságfüggést bizonyítani vagy megcáfolni.
Tegyük fel, hogy az erő arányos

d^{- 4}

-nel:

\begin{matrix} F = K d^{- 4}, \end{matrix}

ahol

K

állandó. Az egyenletet így alakíthatjuk:

\begin{matrix} F^{- 1 / 4} = \frac{d}{K^{4}} . \end{matrix}

A táblázat harmadik oszlopában megadtuk az adatokból számított negyedik gyökök reciprokjait.

F^{- (1 / 4)}

-t

d

függvényében ábrázolva ‐ ha feltevésünk helyes ‐ az origón áthaladó egyenest kell kapnunk. A 2. ábrán felrajzoltuk ezt a függvényt is. Látható, hogy a mérési pontok még közelítőleg sem esnek rá az origón áthaladó egyenesre, így feltevésünk hibás.
Vizsgáljuk meg, hogy milyen hatványkitevő jellemzi a mérési eredményeket. Tegyük fel, hogy a vonzóerő

\begin{matrix} F = K d^{- n} \end{matrix}

függvény szerint változik a távolsággal. Legyen

F_{0} = 1 N

d_{0} = 1 cm

. Segítségükkel az egyenletet dimenziótlan tényezők szorzataként írhatjuk fel:

\begin{matrix} \frac{F}{F_{0}} = \frac{K}{F_{0} d_{0}^{n}} {(\frac{d}{d_{0}})}^{- n} . \end{matrix}

Mindkét oldal logaritmusát véve

\begin{matrix} lg \frac{F}{F_{0}} = lg \frac{K}{F_{0} d_{0}^{n}} - n lg \frac{d}{d_{0}} . \end{matrix}

4. ábra

Táblázatunk utolsó két oszlopa a

lg (F / F_{0})

, illetve

lg (d / d_{0})

értékeket tünteti fel. A 4. ábrán láthatjuk a

lg (F / F_{0}) - lg (d / d_{0})

függvény képét, amely ‐ ha feltevésünk helyes ‐ egyenes, iránytangense pedig ‐

n

. A két legkisebb erőhöz tartozó pontot, melyeket az erőmérés hibája már bizonytalanná tesz, illetve a legkisebb távolsághoz tartozó pontot figyelmen kívül hagyva, a mérési pontok jó közelítéssel egyenest adnak, amelynek iránytangenséből

\begin{matrix} n = 6, 6, \end{matrix}

vagyis a két mágnesrúd közötti erőhatás

d^{- 6, 6}

-nel arányos a vizsgált távolságok esetén.