Ha egy körlemez pontjai kiszínezhetők a feladat feltételeinek megfelelően, akkor mondjuk azt, hogy a körlemez 2-színezhető. Az 1/2-nél kisebb sugarú körök nyilván 2-színezhetők, megmutatjuk, hogy az egység átmérőjű (zárt) körlemez is ilyen. Színezzük ugyanis a körlemez minden belső pontját pl. pirossal. Továbbá bontsuk a kerületét az átellenes $A$, $B$ pontokkal két félkörívre, az egyik nyílt félkörív pontjait és $A$-t pirossal, a másik nyílt félkörív pontjait és $B$-t színezzük kékkel. Ha $P$ és $Q$ a körlemez két pontja és $PQ=1$, akkor $P$ és $Q$ a kerület két átellenes pontja, tehát színük különböző. Ezzel megmutattuk, hogy az 1/2 sugarú (zárt) körlemez 2-színezhető.
Most megmutatjuk, hogy ha $r>1/2$, akkor az $r$ sugarú körlemez nem 2-színezhető. Ehhez vegyük észre a következőt. Ha az $r$ sugarú kör belsejében elfér egy olyan $A_1{A}_2\text{...}{A}_{2k+1}$ szabályos ($2k+1$)-szög, melynek $A_1{A}_{k+1}$ átlója egységnyi hosszú, akkor $A_1{A}_{k+1}{A}_{2k+1}{A}_k{A}_{2k}{A}_{k-1}{A}_{2k-1}\text{...}{A}_2{A}_{k+2}{A}_1$ csillagsokszög minden oldala egységnyi. Ha tehát a sokszöget tartalmazó kör 2-színezhető volna, akkor ennek a csillagsokszögnek bármely két szomszédos csúcsa különböző színű volna. Ez lehetetlen, mert sokszögünknek páratlan sok csúcsa van. Az olyan $r$ sugarú körök tehát, melyek belsejükben tartalmaznak az $A_1{A}_2\text{...}{A}_{2k+1}$ sokszöggel egybevágót, nem 2-színezhetők.
Számoljuk most ki, mekkora az $A_1{A}_2\text{...}{A}_{2k+1}$ köré írt kör sugara! Legyen a kör középpontja $O$, és jelölje $T$ az $O$ pont merőleges vetületét $A_1{A}_{k+1}$-en.