Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.375	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kós Géza , Törőcsik Jenő
Füzet:	1984/március, 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvény határértéke, Konstruktív megoldási módszer, Pontversenyen kívüli probléma, Különleges függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/március: Pontversenyen kívüli P.375

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megadunk egy ilyen $f$ függvényt. Legyen $a_{1} = 10$ , $a_{2} = 10^{10}$ , és általában $a_{i + 1} = 10^{a^{i}} (i = 1,2, ...)$ . Az $f$ függvényt ezek után definiáljuk úgy, hogy $f (x) = 0$ , ha $x < 10 = a_{1}$ , $f (x) = 1$ , ha $10 ≦ x < 10^{10} = a_{2}$ , $f (x) = 2$ , ha $a_{2} = 10^{10} ≦ x < 10^{10^{10}} = a_{3}$ és általában $f (x) = k$ , ha $a_{k} ≦ x < a_{k + 1}$ . Nyilvánvaló, hogy ${lim}_{}^{}_{x \to + \infty}^{} f (x) = + \infty$ . Legyen most $n$ tetszőleges egész és $k > n$ . Magától értetődő, hogy $a_{k} \leq x < a_{k + 1}$ esetén $lg x ≧ a_{k - 1}$ , $lg (lg x) ≧ a_{k - 2}$ és általában

\begin{matrix} lg (lg ... (lg x) ...) \geq a_{k - n}, \end{matrix}

ha a bal oldalon

n

db logaritmusjel áll. Mivel ilyen

x

-ekre

f (x) = k

, azért

\begin{matrix} 0 ≦ \frac{f (x)}{lg (lg ... (lg x) ...)} ≦ \frac{k}{a_{k - n}}, \end{matrix}

a_{k} \leq x < a_{k + 1}

.
Ebből pedig következik, hogy ha rögzített

n

mellett

{lim}_{}^{}_{k \to \infty}^{} \frac{k}{a_{k - n}} = 0

, akkor egyúttal

{lim}_{}^{}_{x \to + \infty}^{} \frac{f (x)}{lg (lg ... (lg x) ...)} = 0

is fennáll (a nevezőben

n

db logaritmusjellel), és az

f

függvény megfelel a feladat feltételeinek. Így elegendő bizonyítanunk, hogy

\begin{matrix} {lim}_{}^{}_{k \to \infty}^{} \frac{k}{a_{k - n}} = 0. \end{matrix}

Teljes indukcióval adódik, hogy

a_{k} ≧ 10^{k}

, hiszen

a_{1} = 10^{1}

és ha

a_{k} ≧ 10^{k}

, akkor

a_{k + 1} = 10^{a_{k}} \geq 10^{10^{k}} ≧ 10^{k + 1}

. Tehát

\begin{matrix} 0 ≦ \frac{k}{a_{k - n}} ≦ \frac{k}{10^{k - n}} = 10^{n} \cdot \frac{k}{10^{k}} . \end{matrix}

Mivel

n

rögzített és

k \cdot 10^{- k}

tart

0

-hoz, ezért

{lim}_{}^{}_{k \to \infty}^{} 10^{n} \frac{k}{10^{k}} = 0

, amivel a bizonyítást befejeztük.