A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Válasszuk 2 szomszédos emelet távolságát (4 m) egységnek. Ha az emeleteket , , sorrendben járom végig, akkor | | egységnyi távolságot teszek meg. A feladat feltételei mellett az 1, 2, 9 számok minden lehetséges sorrendje (permutációja) pontosan ugyanolyan valószínű. Az összes lehetséges sorrendek száma 9!, egy sorrend valószínűsége tehát 1/9!. A várható értéket úgy kapom, hogy az | | kifejezéseket összeadom az 1, 2, 9 számok minden lehetséges , , permutációjára. Nézzük, hányszor szerepel a tagok között az összeadandó. Nyilván annyiszor, ahány permutáció 1-essel kezdődik, vagyis 8!-szor. Ugyanez igaz a , , összeadandókra is. A összeadandó annyiszor lép föl, ahány permutációban a 2-es után 1-es következik. Ilyen permutáció pedig, mint arról könnyen meggyőződhetünk, szintén 8! van. Ugyanez igaz bármely és párra: 8! olyan permutáció van, amelyben a után közvetlenül a következik, a összeadandó is 8! esetben lép föl. Végül 8! olyan permutáció van, amely éppen 1-re végződik, vagyis a összeadandó is -szor szerepel, s ugyanez igaz a , , tagokra. A várható értéket tehát úgy kaphatjuk meg, hogy minden 0 és 9 közötti párra képezzük a kifejezést, az így kapott 90 számot összeadjuk, megszorozzuk 8!-sal és elosztjuk 9!-sal, vagyis a várható érték: | |
Tigelmann Péter (Dombóvár, Gőgös I. Gimn., IV. o. t.) Megjegyzés. Ha minden barátomat (így a 9. emeleten lakót is) fel akarom keresni, legkevesebb 18 emeletnyit kell lifteznem. Ha találomra választom a sorrendet, várhatóan emeletnyit kell megtennem, ami jóval több. Ha nem 10, hanem -szintes házban laknék, a legjobb esetben egyesével végigmegyek az 1, 2, () emeleten, majd vissza a földszintre. Ez emeletnyi út. Ha viszont találomra választom a sorrendet, a várható út emeletnyi. Ez pedig azt jelenti, hogy ha találomra választom a sorrendet, várhatóan sokszor kell irányt változtatnom. Törőcsik Jenő (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.) |