Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.368	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tigelmann Péter , Törőcsik Jenő
Füzet:	1983/október, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/október: Pontversenyen kívüli P.368

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszuk 2 szomszédos emelet távolságát (4 m) egységnek. Ha az emeleteket $x_{1}$ , $...$ , $x_{9}$ sorrendben járom végig, akkor

\begin{matrix} | x_{1} - 0 | + | x_{2} - x_{1} | + | x_{3} - x_{2} | + ... + | x_{9} - x_{8} | + | 0 - x_{9} | \end{matrix}

egységnyi távolságot teszek meg. A feladat feltételei mellett az 1, 2,

...

9 számok minden lehetséges sorrendje (permutációja) pontosan ugyanolyan valószínű. Az összes lehetséges sorrendek száma 9!, egy sorrend valószínűsége tehát 1/9!. A várható értéket úgy kapom, hogy az

\begin{matrix} \frac{1}{9!} (| x_{1} - 0 | + | x_{2} - x_{1} | + | x_{3} - x_{2} | + ... + | x_{9} - x_{8} | + | 0 - x_{9} |) \end{matrix}

kifejezéseket összeadom az 1, 2,

...

9 számok minden lehetséges

x_{1}

...

x_{9}

permutációjára.
Nézzük, hányszor szerepel a tagok között az

| 1 - 0 |

összeadandó. Nyilván annyiszor, ahány permutáció 1-essel kezdődik, vagyis 8!-szor. Ugyanez igaz a

| 2 - 0 |

| 3 - 0 |

...

| 0 - 9 |

összeadandókra is.
A

| 2 - 1 |

összeadandó annyiszor lép föl, ahány permutációban a 2-es után 1-es következik. Ilyen permutáció pedig, mint arról könnyen meggyőződhetünk, szintén 8! van. Ugyanez igaz bármely

j

és

k

párra: 8! olyan permutáció van, amelyben a

k

után közvetlenül a

j

következik, a

| k - j |

összeadandó is 8! esetben lép föl.
Végül 8! olyan permutáció van, amely éppen 1-re végződik, vagyis a

| 0 - 1 |

összeadandó is

8!

-szor szerepel, s ugyanez igaz a

| 0 - 2 |

| 0 - 3 |

...

| 0 - 9 |

tagokra. A várható értéket tehát úgy kaphatjuk meg, hogy minden 0 és 9 közötti

k \neq j

párra képezzük a

| k - j |

kifejezést, az így kapott 90 számot összeadjuk, megszorozzuk 8!-sal és elosztjuk 9!-sal, vagyis a várható érték:

\begin{matrix} \frac{8!}{9!} \sum_{0 \leq j \neq k \leq 9}^{} | k - j | = \frac{1}{9} \cdot 330 = \frac{110}{3} egység, azaz 440 / 3 m . \end{matrix}

Tigelmann Péter (Dombóvár, Gőgös I. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Ha minden barátomat (így a 9. emeleten lakót is) fel akarom keresni, legkevesebb 18 emeletnyit kell lifteznem. Ha találomra választom a sorrendet, várhatóan

110 / 3 > 36

emeletnyit kell megtennem, ami jóval több.

Ha nem 10, hanem

n

-szintes házban laknék, a legjobb esetben egyesével végigmegyek az 1, 2,

...

(

n - 1

) emeleten, majd vissza a földszintre. Ez

2 (n - 1)

emeletnyi út. Ha viszont találomra választom a sorrendet, a várható út

n (n + 1) / 3

emeletnyi. Ez pedig azt jelenti, hogy ha találomra választom a sorrendet, várhatóan sokszor kell irányt változtatnom.

Törőcsik Jenő (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)