Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.366	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Árkossy Ottó , Kelinger Csaba , Megyesi Gábor , Náray Miklós , Nyikes Péter , Törőcsik J. , Zsigri G.
Füzet:	1983/november, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Pontversenyen kívüli probléma, Számtani közép, Harmonikus közép
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/szeptember: Pontversenyen kívüli P.366

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első sorozat elemei legyenek rendre $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{n}$ , $...$ , a másodiké $b_{1}$ , $b_{2}$ , $...$ , $b_{n}$ , $...$ . A feladat kikötései szerint $a_{1} = 3$ , $b_{1} = 1$ , továbbá

\begin{matrix} a_{n} = \frac{a_{n - 1} + b_{n - 1}}{2}, b_{n} = \frac{2 a_{n - 1} b_{n - 1}}{a_{n - 1} + b_{n - 1}} (n = 2, 3, ...) . \end{matrix}

Könnyen ellenőrizhető, hogy ha

a

és

b

pozitívak, továbbá

a > b

, akkor

\begin{matrix} a > \frac{a + b}{2} > \frac{2 a b}{a + b} > b . \end{matrix}

Így ha

a_{n - 1} > b_{n - 1}

valamilyen

n \geq 2

-re, akkor

a_{n - 1} > a_{n} > b_{n} > b_{n - 1}

is igaz. Minthogy

a_{1} = 3 > b_{1} = 1

, ebből teljes indukcióval következik, hogy

\begin{matrix} a_{1} > a_{2} > ... > a_{n} > ... > b_{n} > ... > b_{2} > b_{1} = 1. \end{matrix}

a_{n}

sorozat tehát monoton csökken és alulról korlátos, a

b_{n}

sorozat monoton nő és felülről korlátos. Mindkettőnek van tehát határértéke. Belátjuk, hogy e két határérték azonos, ehhez elég megmutatni, hogy az

a_{n} - b_{n}

különbség nullához tart.
Tudjuk, hogy

b_{n + 1} > b_{n}

, tehát

\begin{matrix} 0 < a_{n + 1} - b_{n + 1} < a_{n + 1} - b_{n} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2} - b_{n} = \frac{a_{n} - b_{n}}{2} . \end{matrix}

Ebből következik, hogy

\begin{matrix} 0 < a_{n + 1} - b_{n + 1} < \frac{a_{n} - b_{n}}{2} < \frac{a_{n - 1} - b_{n - 1}}{4} < ... < \frac{a_{1} - b_{1}}{2^{n}} = \frac{1}{2^{n - 1}} . \end{matrix}

a_{n} - b_{n}

különbség tehát valóban tart 0-hoz, a két sorozat határértéke azonos.
Végül a képzési szabály alapján

\begin{matrix} a_{n + 1} \cdot b_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2} \cdot \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n} + b_{n}} = a_{n} b_{n}, \end{matrix}

vagyis a két sorozat azonos indexű tagjainak szorzata mindig

a_{1} \cdot b_{1} = 3

. A két sorozat határértéke ugyanaz az 1 és 3 közé eső szám, és a két sorozat azonos indexű tagjainak szorzata 3, tehát a sorozatok közös határértéke

\sqrt[]{3}

Megjegyzés. Ha az

a_{n}

sorozat első eleme 3 helyett tetszőleges

x > 0

szám, akkor a két sorozat közös határértéke

\sqrt[]{x}

. A feladat tehát gyors módszert ad arra, hogyan lehet közelítőleg négyzetgyököt vonni, ha csak összeadni és reciprokot venni szabad.

Náray Miklós (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.)