Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.361	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almássy Tamás , Drávucz Katalin , Hetyei Gábor , Megyesi Gábor , Nádor Péter , Törőcsik Jenő , Weisz Ferenc , Wolfgang Moldenhauer
Füzet:	1983/január, 21 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/április: Pontversenyen kívüli P.361

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Belátjuk, hogy

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} a_{n} = \frac{1}{π} . \end{matrix}

Először is egyszerűbb alakra hozzuk

a_{n}

-t. A

sin α = sin (π - α)

egyenlőségből következik, hogy

\begin{matrix} sin \frac{i π}{n} = sin \frac{(n - i) π}{n} . \end{matrix}

Ezt felhasználva, (1) a következő alakba is írható:

\begin{matrix} a_{n} = \frac{1}{n^{2}} [sin \frac{(n - 1) π}{n} + 2 sin \frac{(n - 2) π}{n} + 3 sin \frac{(n - 3) π}{n} + ... + (n - 1) sin \frac{π}{n}] . \end{matrix}

(2)

Ha a szögletes zárójelben a tagok sorrendjét megfordítjuk, majd (1)-et is (2)-t összeadjuk, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 a_{n} = \frac{1}{n^{2}} [n \cdot sin \frac{π}{n} + n \cdot sin \frac{3 π}{n} + ... + n \cdot sin \frac{(n - 1) π}{n}], \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} a_{n} = \frac{1}{2 n} [sin \frac{π}{n} + sin \frac{2 π}{n} + sin \frac{3 π}{n} + ... + sin \frac{(n - 1) π}{n}] . \end{matrix}

(3)

A szögletes zárójelben álló kifejezést többféleképpen is lehet explicit alakra hozni. A legegyszerűbb talán a következő: Szorozzuk meg az összeg minden tagját

2 sin \frac{π}{2 n}

-nel! A

cos (α - β) - cos (α + β) = 2 sin α sin β

összefüggést felhasználva

\begin{matrix} 2 sin \frac{π}{n} sin \frac{π}{2 n} = cos \frac{π}{2 n} - cos \frac{3 π}{2 n}, \\ 2 sin \frac{2 π}{n} sin \frac{π}{2 n} = cos \frac{3 π}{2 n} - cos \frac{5 π}{2 n}, \\ 2 sin \frac{3 π}{n} sin \frac{π}{2 n} = cos \frac{5 π}{2 n} - cos \frac{7 π}{2 n}, \\ ⋮ \\ 2 sin & \frac{(n - 1) π}{n} sin \frac{π}{2 n} = cos \frac{(2 n - 3) π}{2 n} - cos \frac{(2 n - 1) π}{2 n} . \end{matrix}

n - 1

egyenlőséget összeadva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 sin \frac{π}{2 n} [sin \frac{π}{n} + sin \frac{2 π}{n} + sin \frac{3 π}{n} + ... + sin \frac{(n - 1) π}{n}] = \\ = cos \frac{π}{2 n} - cos \frac{(2 n - 1) π}{2 n} = 2 cos \frac{π}{2 n} . \end{matrix}

Innen

a_{n}

-re a következő zárt formulát kapjuk:

\begin{matrix} a_{n} = \frac{cos \frac{π}{2 n}}{2 n sin \frac{π}{2 n}} = \frac{1}{2 n tg \frac{π}{2 n}} . \end{matrix}

(4)

Mármost a

b_{n} = cos \frac{π}{2 n}

sorozatnak van határértéke, ha

n

tart végtelenhez:

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} b_{n} = {lim}_{n \to \infty}^{} cos \frac{π}{2 n} = 1. \end{matrix}

Másrészt a

c_{n} = 2 n sin \frac{π}{2 n}

sorozatnak is van határértéke:

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} c_{n} = {lim}_{n \to \infty}^{} 2 n sin \frac{π}{2 n} = {lim}_{n \to \infty}^{} π \frac{sin \frac{π}{2 n}}{\frac{π}{2 n}} = π {lim}_{n \to \infty}^{} \frac{sin \frac{2 π}{n}}{\frac{2 π}{n}} = π \end{matrix}

(Felhasználtuk, hogy

\frac{sin x}{x} \to 1

, ha

x \to 0

)
Így a két sorozat hányadossorozatának,

a_{n}

-nek is van határértéke, és ez a két sorozat határértékének hányadosa:

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} a_{n} = \frac{{lim}_{}^{}_{n \to \infty}^{} b_{n}}{{lim}_{}^{}_{n \to \infty}^{} c_{n}} = \frac{1}{π} . \end{matrix}

Drávucz Katalin (Szolnok, Verseghy F. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1.

\frac{1}{a_{n}}

értéke az egységsugarú kör köré rajzolt szabályos

2 n

-oldalú érintősokszög területével egyenlő. Ha ugyanis

O

a kör középpontja,

P_{1}

és

P_{2}

a szabályos érintő

2 n

-szög két szomszédos csúcsa, akkor a sokszög területe

2 n

-szerese az

O P_{1} Q

háromszög területének, ahol

Q

P_{1} P_{2}

szakasz felezőpontja (érintési pontja). Másrészt a

P_{1} Q

szakasz hossza éppen

tg P_{1} O Q ∢ = tg \frac{π}{2 n}

,tehát az érintő

2 n

-szög területe éppen

2 n tg \frac{π}{2 n}

, ami (4) szerint éppen

\frac{1}{a_{n}}

. Ebből következik, hogy az

a_{n}

sorozat monoton nő.

Drávucz Katalin

2. Írjuk

a_{n}

-et a következő alakba:

\begin{matrix} a_{n} & = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} sin \frac{π}{n} + \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} sin \frac{2 π}{n} + \frac{1}{n} \cdot \frac{3}{n} sin \frac{3 π}{n} + ... + \\ + \frac{1}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} sin \frac{(n - 1) π}{n} + \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{n} sin \frac{n π}{n} . \end{matrix}

(Az utolsó tagot szabad

a_{n}

-hez hozzáadni, mert értéke

0

.) Ebből az alakból rögtön leolvasható, hogy

a_{n}

y = x sin π x

függvény 0 és 1 közötti integráljának egy közelítő összege, mégpedig az, amely az egyenletes,

x_{1} = \frac{1}{n}, x_{2} = \frac{2}{n}

x_{3} = \frac{3}{n}, ..., x_{n - 1} = \frac{n - 1}{n}

x_{n} = \frac{n}{n} = 1

felosztáshoz tartozik. Innen

\begin{matrix} {lim}_{a_{n} \to \infty}^{} a_{n} = \int_{0}^{1} x sin π x d x = \frac{1}{π} . \end{matrix}

Megyesi Gábor (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)

3. Ugyanígy a (3) képletből közvetlenül látszik, hogy

2 a_{n}

y = sin π x

függvény 0 és 1 közti integráljának az előbbi felosztáshoz tartozó közelítőösszege. Tehát

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} a_{n} = \int_{0}^{1} sin π x d x = \frac{1}{π} . \end{matrix}

Hetyei Gábor (Pécs, Leövey K. Gimn., III. o. t.)

4. Jelölje

z

(cos \frac{π}{n} + i sin \frac{π}{n})

komplex számot. Ekkor (3). jobb oldalán a zárójelben rendre a

z

z^{2}

z^{3}

...

z^{n - 1}

komplex számok képzetes része áll. Következésképp

a_{n}

éppen a

z + z^{2} + z^{3} + ... + z^{n - 1}

összeg képzetes részének

2 n

-ed része. A mértani sor összegképletét és a

z^{n} = - 1

összefüggést felhasználva, ebből az adódik, hogy

a_{n}

\frac{1 + z}{1 - z} = \frac{2}{1 - z} - 1

komplex szám képzetes részének

2 n

-ed része. Könnyen ellenőrizhető, hogy

2 / (1 - z) = 1 + i ctg \frac{π}{2 n}

, amiből (4) máris következik.