Feladat: Pontversenyen kívüli P.360 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Borsó Zsolt ,  Törőcsik Jenő 
Füzet: 1982/december, 211 - 214. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/március: Pontversenyen kívüli P.360

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az állítást 8 lépésben bizonyítjuk. Egy tetszőleges S alakzatnak a fenti T transzformáció szerinti képét a rövidség kedvéért ST-vel jelöljük.

 

1. Ha T a síknak kölcsönösen egyértelmű ponttranszformációja, S és S' pedig a sík két tetszőleges alakzata, akkor ST és S'T alakzatának pontosan annyi közös pontja lesz, mint az S és S' alakzatoknak van. Két nem metsző (párhuzamos) egyenes T szerinti képe tehát két nem metsző alakzat lesz. Ha a T transzformációról még azt is tudjuk, hogy egyenest egyenesbe visz, akkor párhuzamos egyenespár képe párhuzamos egyenespár.
 

2. Nyilvánvaló az is, hogy kölcsönösen egyértelmű ponttranszformáció alakzatok közös pontját a képalakzatok közös pontjába viszi, tehát egyenesek metszéspontjának a képe a képegyenesek metszéspontja. A paralelogramma párhuzamos oldalegyeneseit egy kölcsönösen egyértelmű, egyenestartó ponttranszformáció párhuzamos oldalegyenesekbe, a csúcsokat (nem párhuzamos oldalegyenesek metszéspontjait) a képegyenesek metszéspontjaiba viszi, tehát paralelogramma képe paralelogramma.
 

3. Érintse most az e egyenes a K kört. Ha a T transzformáció kört körbe visz, akkor az eT egyenes érinteni fogja a KT kört, T tehát kört érintő egyenest a képkört érintő egyenesbe visz.
 

4. Ha P a K körön kívül fekszik, akkor P-ből húzható e érintőegyenes K-hoz. Ezért a PT-ből húzott eT egyenes is érinteni fogja a KT kört, PT tehát a KT körön kívül lesz. Így a kör külső pontjai a képkör külső pontjaiba, a körvonal pontjai a képkörvonal pontjaiba, a kör belső pontjainak képei a képkör belső pontjaiba mennek át. Húzzunk kört az AB szakasz mint átmérő fölé. Az AB egyenesnek a körön belül levő pontjai lesznek az AB szakasz belső pontjai, így a T transzformáció ezeket a pontokat a képkör belső pontjaiba viszi, vagyis az ATBT szakasz belső pontjaiba. Azt kaptuk, hogy az AB szakasz pontjainak képei az ATBT szakasz pontjainak képei lesznek.
A 2. és 4. pont alatt mondottakból már következik, hogy ha a CD szakasz az AB szakasz párhuzamos eltolásával keletkezik, akkor ugyanez áll a képszakaszokra is: a CTDT szakasz az ATBT szakasz eltolásával keletkezik. (Az ABDC négyszög ugyanis pontosan akkor paralelogramma, ha a CD szakasz az AB szakasz párhuzamos eltoltja.)
 

5. Most belátjuk, hogy a T transzformáció kör átellenes pontjait a képkör átellenes pontjaiba viszi. Legyen ugyanis A és B a K kör két átellenes pontja. Érintse az e egyenes a K kört az A pontban, az f egyenes pedig a B pontban. Ekkor az eT és fT egyenesek is érinteni fogják a KT kört. Másrészt e párhuzamos f-fel, mert a K kört átellenes pontokban érinti e két egyenes. Következésképp eT is párhuzamos fT-vel. Tehát eT és fT átellenes pontokban érinti a KT kört. De ez a két érintési pont éppen e és K, ill. f és K közös pontjának a képe, vagyis A és B képe. A és B képe tehát valóban a képkör két átellenes pontja.
 

6. Húzzunk egyenest a K kör középpontján keresztül. Ez az egyenes a K kört két átellenes pontjában metszi, tehát az egyenes képe a KT kört két átellenes pontban metszi, vagyis átmegy a KT kör középpontján. Húzzunk még egy egyenest a K kör középpontján keresztül. Ennek képe is átmegy KT középpontján. A két egyenes metszéspontjának a képe a képegyenesek metszéspontja, tehát a K kör középpontja éppen a KT kör középpontja lesz. Vagyis a T transzformáció bármely kör középpontját a képkör középpontjába viszi.
Ezt az állítást így is fogalmazhatjuk: ha az OB szakasz az OA elforgatásával keletkezik, akkor ugyanez áll a képszakaszokra: OTBT a OTAT szakasz elforgatottja. (A és B pontosan akkor van ugyanazon az O középpontú körön, ha OB az OA elforgatottja.)
 

7. Ha két szakasz egyenlő, akkor egy párhuzamos eltolással és egy elforgatással átvihető az egyik a másikba. Láttuk, hogy egy szakasz eltolásának a képsíkon is a képszakasz valamilyen párhuzamos eltolása, elforgatásának a képszakasz valamilyen elforgatása felel meg. Ebből következik, hogy egyenlő hosszú szakaszok képei egyenlő hosszú szakaszok.
 

8. Ha az AB szakaszt n egyenlő részre osztjuk, akkor az osztópontok képei a képszakaszt n egyenlő részre bontják, hiszen egyenlő hosszú szakaszok képei egyenlő hosszúak. Ha most az AB és CD szakaszok aránya racionális; mondjuk AB:CD=n:m, akkor az AB szakasz elosztható n, a CD szakasz m egyenlő részre úgy, hogy a szomszédos osztópontok közti szakaszok a két szakaszon egyenlő hosszúak. A T transzformáció egyenlő szakaszokat egyenlő hosszú darabokba visz, tehát az AB és CD szakasz képei is feloszthatók ugyanúgy n, ill. m egyenlő részre. Tehát ATBT:CTDT=n:m=AB:CD.
A feladat állítása ebből már következik: ha az ABC háromszög oldalainak aránya AB:BC:CA=3:4:5, akkor ugyanez igaz az ATBT:BTCT:CTAT arányra is.
 

II. megoldás. Legyen T kölcsönösen egyértelmű egyenes- és körtartó ponttranszformáció. Azt állítjuk, hogy egymást metsző ill. érintő egyenlő sugarú körök T szerinti képei egymást metsző ill. érintő egyenlő sugarú körök lesznek.
Vegyünk fel ugyanis 5 kört a következőképpen, K,K',L,L' legyen négy egyenlő sugarú kör, menjen mind a négy keresztül ugyanazon az O ponton, a K és K' körök érintsék egymást, az L és aL' körök szintén, végül az ötödik, M kör középpontja legyen O, és érintse ez a kör K, K', L, L', mindegyikét. Az érintési pontokat rendre P,Q,R,S jelöli. (M sugara a többi kör átmérőjével egyenlő, lásd az ábrát.)
T körtartó, ezért az 5 kör képe is 5 kör lesz. T kölcsönösen egyértelmű, tehát alakzatok közös pontját a képalakzatok közös pontjába viszi, különböző pontokat különböző pontokba visz. A közös pontok számát megtartja, érintő köröket tehát érintő körökbe visz. Mindebből következik, hogy KT és K'T, illetve LT és L'T érinti egymást az OT pontban, továbbá KT,K'T,LT és L'T rendre a PT, QT, RT, ST pontokban érinti az MT kört.
T egyenestartó, így az egyenesre illeszkedő P, O, Q pontok. PT, OT, QT képei is egy egyenesre illeszkednek. A páronként egymást érintő KT, K'T, MT körök 3 érintési pontja tehát egy egyenesen van. Ismeretes, hogy ha 3 egymást páronként (különböző pontban) érintő kör 3 érintési pontja egy egyenesen van, akkor mindhárom kör középpontja is ezen az egyenesen van, s ez az egyenes mindhárom körből átmérőt metsz ki. Ezt az állítást felhasználva azt kapjuk, hogy az MT kör M középpontja rajta van a PT, OT, QT pontok meghatározta egyenesen és OTPT ill. OTQT a KT, ill. K'T kör átmérője. Szimmetrikus okoskodással adódik, hogy az MT kör M középpontja rajta van az RT, OT, ST pontok meghatározta egyenesen, és OTRT ill. OTST az LT ill. L'T kör átmérője. Vagyis M a PTQT és RTST egyenesek metszéspontja. De ezek metszéspontja éppen OT, vagyis OT éppen az MT kör középpontja. Következésképp az OTPT, OTQT, OTRT, OTST szakaszok az MT kör sugarai, s egyenlők. Másrészt e szakaszok a KT, K'T, LT, L'T körök átmérői, azaz ezek a körök egyenlő sugarúak.
Beláttuk tehát, hogy egy ponton keresztülmenő, egyenlő sugarú körök képe egy ponton keresztülmenő egyenlő sugarú körök, továbbá érintő körpár képe érintő körpár.
Legyen most az ABC háromszög oldalainak aránya AB:BC:CD=3:4: :5.
Osszuk fel
az AB oldalt a C1,C2 pontokkal három,
a BC oldalt az A1,A2,A3 pontokkal négy,
a CA oldalt a B1,B2,B3,B4 pontokkal öt
egyenlő részre. Rajzoljuk meg az AC1, C1C2, C2B, BA1, A1A2, A2A3, A3C, CB1, B1B2, B2B3, B3B4, B4A átmérőjű köröket. Ez a 12 kör mind egyenlő sugarú, és mindegyiknek van közös pontja az előtte, ill. utána említettel (az utolsónak az elsővel is), s ha ez a közös pont nem az A,B,C csúcsok egyike, akkor a körök érintik egymást. A fent bizonyított dőlt betűs állítás szerint e 12 pontból és 12 körből álló alakzat T szerinti képe egy hasonló alakzat lesz, mert egyenlő sugarú körök egyenlő sugarú körökbe, érintőkörök érintőkörökbe, metsző körök metsző körökbe és metszés-, ill. érintési pontok metszés-, ill. érintési pontba mennek át. Ezzel beláttuk, hogy az ATBTCT háromszög oldalainak az aránya 3:4:5 lesz.
 

 Borsó Zsolt (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)
 
Megjegyzések. 1. Beláttuk az I. megoldásban, hogy a T transzformáció a racionális arányú szakaszok arányát megtartja. E megoldás 4. pontjából könnyen belátható, hogy a T transzformáció folytonos, tehát minden arányt megtart, azaz T hasonlóság. A következő tételhez jutunk tehát:
A sík kölcsönösen egyértelmű T transzformációja pontosan akkor hasonlóság, ha egyenest egyenesbe és kört körbe visz.
2. A II. megoldásból tulajdonképpen azt kapjuk, hogy ha egy háromszög oldalainak aránya p:r:s, és p,r,s egészek, akkor ugyanez a háromszög képének oldalaira is áll. Ebből még közvetlenül nem következik, hogy bármely két szakasz képe egyenlő. (A bizonyításban nem szerepel az a lépés, hogy párhuzamos szakaszok képe párhuzamos lesz.) T folytonosságát kihasználva azonban már ennyiből is következik, hogy T hasonlóság.