Jelöljünk ki a síkon egy $O$ pontot és minden $O$-tól különböző $P$ ponthoz rendeljük hozzá az $OP$-re merőleges, $P$-n átmenő egyenest. Ez a $h$ hozzárendelés különböző $P$ pontokhoz különböző $h\left(P\right)$ egyeneseket rendel, és csak az $O$ pontot, illetve az $O$-n keresztülmenő egyeneseket ,,hagyja ki''. Ezt a hiányosságot a következőképpen pótoljuk:
Legyen $A$ tetszőleges, $O$-tól különböző pont és rendeljük $O$-hoz az $OA$ egyenest. Legyen $K_1$ az $O$ középpontú, $A$-ból induló nyílt félkör, $K_2$ legyen $a+{60}^{\circ }$-kal elforgatott és kétszeresére nagyított képe. Általában $K_{n+1}n\ge 1$-re legyen $K_n$-nek $+{60}^{\circ }$-kal elforgatott, kétszeresére nagyított képe. Ha $P$ a $K_1$ pontja, akkor $P$-hez $OP$-t rendeljük. Ha $P$ a $K_n$ pontja és $n\ge 2$, akkor $P$-hez $K_{n-1}$-nek azt a $P$-n keresztülmenő érintőjét rendeljük, amelynek $Q$ érintési pontjára a $PQO$ irányított szög $+{90}^{\circ }$. A $K_n$-ek definíciója biztosítja, hogy ilyen érintő $P$-hez van (a $PO$ félegyenessel $+{30}^{\circ }$-ot bezáró $PQ$ félegyenes). Így az $O$-n keresztülmenő egyenesek és a $K_n$ félkörívek érintői, valamint $O$ és a $K_n$ félkörívek pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítettünk.
Ha $P\ne O$, és $P$ nem pontja egyik $K_n$-nek sem, akkor $P$-hez továbbra is $h\left(P\right)$-t, vagyis az $OP$-re merőleges, $P$-n áthaladó egyenest rendeljük. Ha $P$ nincsen rajta $K_n$-en, akkor ez a $h\left(P\right)$ egyenes nem érintője $K_n$-nek, és nyilván nem megy keresztül $O$-n.
Most már tehát olyan hozzárendeléshez jutottunk, amely minden ponthoz rendel egyenest és különböző pontokhoz különböző egyeneseket rendel. Nyilvánvaló az is, hogy minden egyenest hozzárendelünk a sík valamely pontjához, tehát a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű. Végül minden ponthoz egy rajta átmenő egyenest rendeltünk.