A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat állításán túlmenően megmutatjuk, hogy ha első sorozatként a természetes számok egy tetszőleges (csupa különböző számból álló) részsorozatát választjuk, és a feladatban megadott eljárással lépésről lépésre új sorozatot gyártunk belőle, akkor az első sorozatban szereplő minden természetes szám végtelen sok sorozatnak lesz az első eleme. Meggondolásunkban szükség van a következő definícióra: Ha egy szám a felírt sorozatok közül véges sok kivételével mindegyikben a -adik helyen áll, akkor azt mondjuk, hogy a -adik hely az szám törzshelye. Először azt látjuk be, hogy ha valamely szám csak véges sokszor (esetleg -szor) kerül az első helyre, akkor ennek az számnak van törzshelye. Ekkor ugyanis van olyan szám, hogy az -edik sorozattól kezdve nem szerepel első elemként. Minthogy a későbbiekben nem kerül az első helyre, így hátrafelé sem léptethetjük. Tehát csak előre léphet, s mivel nem éri el az első helyet, véges sok lépés után eljut egy olyan helyre, ahonnan többé sem hátra, sem előre nem mozdul. Ez a hely -nek a törzshelye lesz. Ezek után beláthatjuk, hogy egyetlen hely sem lehet törzshely. Ebből a bizonyítani kívánt állításunk már következik, hiszen épp most láttuk, hogy ha volna olyan természetes szám az első sorozatban, amely csak véges sokszor szerepel első elemként, akkor -nek volna törzshelye. Tegyük fel, hogy van törzshely. Megmutatjuk, hogy ez a feltevés ellentmondásra vezet. Ha van törzshely, akkor nyilván van egy legkisebb szám, amelyre a -edik hely törzshely. Legyen az -edik sorozat az, amelyben a -edik helyen álló szám végleg elfoglalja törzshelyét. Ez a sorozat tehát így kezdődik: és többé nem mozdul a -edik helyről. Legyen a legnagyobb az számok közül. Mivel páronként különböző természetes számok, így . Másrészt , így az , helyek egyike sem törzshely, tehát előbb-utóbb elmozdul az -edik helyről előbb az -edikre, majd az -edikre, végül eljut az első helyre is. Amikor az első helyre kerül, a sorozat eleje alakú. A következő lépésben az -edik helyre kerül. De , így az első helyre , a másodikra stb., a -edik helyre és a -edik helyre a kerül. Ez azonban ellentmond annak, hogy a -edik hely a törzshelye. Beláttuk tehát, hogy feltevésünk ellentmondáshoz vezet, s ezzel állításunkat bebizonyítottuk. |