| Feladat: | Pontversenyen kívüli P.330 | Korcsoport: 16-17 | Nehézségi fok: nehéz |
| Megoldó(k): | Beleznay Ferenc , Bohus Géza | ||
| Füzet: | 1980/október, 75 - 76. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Sokszög lefedések, Pontversenyen kívüli probléma, Indirekt bizonyítási mód | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1980/január: Pontversenyen kívüli P.330 | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kis téglalapokkal csak úgy lehet kitölteni egy nagyot, ha a kis téglalapok élei párhuzamosak a nagy téglalap megfelelő éleivel. Helyezzük el a "nagy" téglalapot az ábrán látható módon egy olyan sakktáblára, melyben az alapnégyzetek oldalai 1/2 hosszúságúak. Könnyű belátni, hogy a felosztásban szereplő kis téglalapok mindegyike a sakktáblából ugyanakkora területű fehér részt fed le, mint fekete részt. (Ez abból következik, hogy minden kis téglalapnak valamelyik oldala egész.) Tehát a nagy téglalap is ugyanakkora területű fehér részt fed le, mint feketét. Így a feladat állítását is bizonyítjuk, ha megmutatjuk, hogy ez csak abban az esetben lehetséges, amikor a nagy téglalap valamelyik oldala egész.  Tegyük fel, hogy ez nem így van. Vágjuk ki a téglalap jobb alsó sarkából azt a téglalapot, melynek oldalai azok a mennyiségek, amennyivel a két oldal meghaladja a hozzá legközelebb eső egészt. A megmaradt (konkáv) hatszögben ugyanakkora területű fehér, mint fekete rész van (hiszen felbomlik két téglalapra, melyek egy-egy oldala egész), ezért ez a kivágott részben is így van. De a kivágott téglalap oldalai 0 és 1 közé esnek, ezért benne a fekete rész feltétlenül nagyobb területű. Az ellentmondás épp az állításunkat igazolja. Megjegyzések. 1. A probléma állításának speciális esete a következő. Egy téglalap akkor és csak akkor rakható ki méretű téglalapokkal, ha mindkét oldala egész és valamelyik osztható -val. 2. Mind az állítás, mind a bizonyítás könnyen általánosítható téglatestekre is. |