Álljon $H$ azokból a $K$ részhalmazokból, melyekre $K\supseteq f\left(K\right)$. Ez a $H$ nem üres, mert $A$ eleme, hiszen $A\supseteq f\left(A\right)$ biztosan teljesül. Legyen a $H$-beli halmazok közös része (metszete) az $M$ halmaz. Mit tudunk az $f\left(M\right)$-ről?
Ha $K$ tetszőleges $H$-beli halmaz, akkor $K\supseteq M$ miatt fönnáll $f\left(K\right)\supseteq f\left(M\right)$. Ebből pedig $K\supseteq f\left(K\right)$ alapján (ez volt a $H$-beli halmazok definiáló tulajdonága) $K\supseteq f\left(M\right)$. Tehát $f\left(M\right)$-et minden $H$-beli halmaz tartalmazza, így metszetük, $M$ is: $M\supseteq f\left(M\right)$ . Ugyanakkor $M\supseteq f\left(M\right)$-ből $f\left(M\right)\supseteq f\left(f\left(M\right)\right)$ következik, tehát (definíció szerint) $f\left(M\right)$ $H$-beli. Az $M$ minden $H$-beli halmaznak része, tehát $M\subseteq f\left(M\right)$. Ezt az előbbi $M\supseteq f\left(M\right)$ eredményünkkel összevetve $M=f\left(M\right)$, ami azt jelenti, hogy a keresett részhalmazt megtaláltuk.