Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.327	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csere Kálmán
Füzet:	1980/november, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Pontversenyen kívüli probléma, Esetvizsgálat, Középértékek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/december: Pontversenyen kívüli P.327

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x = y = z = 1$ nyilván megoldása az egyenletrendszernek. Állítjuk, hogy más megoldása nincs, ezt az $x$ , $y$ és $z$ előjelére vonatkozó diszkusszióval látjuk be.

I. eset.

x > 0

y > 0

z > 0

. Ekkor az

x

y

z

valamelyike nem kisebb 1-nél, legyen ez

x

. Ha

y > 1

, akkor

z < 1

, és így az (1) és (3) különbségeként adódó

\begin{matrix} (x^{3} - x^{2}) - (y^{2} - y) + (z - z^{3}) = 0 \end{matrix}

(4)

nem állhat fenn. Ha

y < 1

és

z \geq 1

, akkor (2) és (3) különbsége, ha pedig

y < 1

és

z < 1

, akkor (1) és (2) különbsége nem lehet 0. Így

y = 1

és ebből könnyen következik, hogy

x = 1

és

z = 1

II. eset.

x \leq 0

y \leq 0

z \leq 0

. Az (1), (2), illetve (3) feltételek alapján

y

z

x \leq - \sqrt[]{3} = - a_{0}

. Ha most

x

y

z \leq - a_{n}

valamilyen

a_{n} > 0

-ra, akkor (3) alapján

x^{2} = 3 - y - z^{3} \geq 3 + a_{n} + a_{n}^{3} > a_{n}^{3}

, azaz

x < - a_{n}^{3 / 2} = - a_{n + 1}

. Hasonlóan kapjuk, hogy ez

y

-ra és

z

-re is igaz. Így

x

y

és

z

kisebb

(- a_{n})

-nél minden

n

-re, ahol

a_{0} = \sqrt[]{3}

és

a_{n + 1} = a_{n}^{3 / 2}

. De

{lim}_{n \to \infty}^{} a_{n} = + \infty

, azaz ilyen

x

y

z

nem létezik.

III. eset. Az

x

y

z

közül pontosan egy pozitív, feltehetjük, hogy

x \leq 0

y > 0

z \leq 0

. (1) alapján

y^{2} = 3 - x^{3} - z \geq 3

, azaz

y > \sqrt[]{3}

. (2) szerint

x =

= 3 - z^{2} - y^{3} \leq 3 - {(\sqrt[]{3})}^{3} < - 2

, majd ismét (1) szerint

y^{2} \geq 3 - x^{3} > 11

, ahonnan

y > 3 = b_{0}

. Hasonlóan ha

y > b_{n} \geq 3

, akkor

x = 3 - z^{2} - y^{3} \leq 3 - b_{n}^{3} (< 0)

és

y^{2} \geq 3 - x^{3} \geq 3 - {(3 - b_{n}^{3})}^{3} > b_{n}^{6}

, amiből

y > b_{n}^{3} = b_{n + 1}

. Így

y > b_{n}

minden

n

-re, ami

{lim}_{n \to \infty}^{} b_{n} = + \infty

miatt lehetetlen.

IV. eset. Az

x

y

z

között két pozitív van, feltehetjük, hogy

x > 0

y > 0

és

z \leq 0

. (2) alapján

0 < x + z^{2} = 3 - y^{3}

, ahonnan

y < \sqrt[3]{3} < 1, 5

. (3) szerint

x^{2} = 3 - y - z^{3} > 3 - 1, 5

, amiből

x > 1, 2

. Ezeket az egyenlőtlenségeket még egyszer alkalmazva

1, 2 < x + z^{2} = 3 - y^{3}

, azaz

y < \sqrt[3]{1, 8} < 1, 3

és

x^{2} = 3 - y - z^{3} > 3 - 1, 3 > 1, 3^{2}

A számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenség alapján

\begin{matrix} - 2 (z - z^{3}) = (- z) (1 - z) (2 + 2 z) \leq {(\frac{(- z) + (1 - z) + (2 + 2 z)}{3})}^{3} = 1, \end{matrix}

- 1 \leq z < 0

, így

z - z^{3} \geq - 0, 5

, minden

z < 0

-ra.

Most különböztessünk meg két esetet. Ha

y \geq 1

, akkor

y^{2} - y \geq 0

, továbbá

x > 1, 3

miatt

x^{3} - x^{2} \geq {1, 3}^{3} - 1, 3^{2} > 0, 5

, ezért

\begin{matrix} (x^{3} - x^{2}) + (y^{2} - y) + (z - z^{3}) > 0, 5 + 0 + (- 0, 5) = 0, \end{matrix}

ellentétben (4)-gyel. Végül ha

0 < y \leq 1

, akkor

y^{2} - y \geq - 0, 25

, továbbá (3) alapján

x^{2} > 2

, azaz

x^{3} - x^{2} > 2 \sqrt[]{2} - 2 > 0, 8

így

\begin{matrix} (x^{3} - x^{2}) + (y^{2} - y) + (z - z^{2}) > 0, 8 + (- 0, 25) + (- 0, 5) > 0, \end{matrix}

tehát most sincs megoldás.
Mivel az összes esetet megvizsgáltuk, valóban nincs más megoldás.

Csere Kálmán (Veszprém, Lovassy L. Gimn., III. o. t.)