Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.326	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bohus Géza , Bölcsföldi László , Dénes László , Kiss György
Füzet:	1980/szeptember, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész együtthatós polinomok, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/november: Pontversenyen kívüli P.326

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat állítása nem igaz. Ennek bizonyítására elég megadnunk egy olyan egész együtthatós, harmadfokú $p (x)$ polinomot, amelynek van $3$ valós gyöke, de a $p (x) + c$ polinomnak semmilyen $c$ mellett nincs $3$ racionális gyöke.
Legyen $p (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 2 x$ . Ez nyilván teljesíti a feltételeket. (A három különböző valós gyök: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 1 + \sqrt[]{3}$ ; $x_{3} = 1 - \sqrt[]{3}$ ) Tegyük fel, hogy a $p (x) + c$ polinomnak van $3$ racionális gyöke. Ezek felírhatók $\frac{p_{1}}{q}$ ; $\frac{p_{2}}{q}$ ; $\frac{p_{3}}{q}$ alakban, ahol $p_{i}$ és $q$ egész számok ( $q$ pozitív), és $q$ a legkisebb közös nevező.
A gyökök és együtthatók közti ismert összefüggések alapján:

\begin{matrix} \frac{p_{1} + p_{2} + p_{3}}{q} = 2, vagyis p_{1} + p_{2} + p_{3} = 2 q, & (1) \\ \frac{p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2}}{q^{2}} = \frac{{(p_{1} + p_{2} + p_{3})}^{2}}{q^{2}} - 2 \frac{p_{1} p_{2} + p_{2} p_{3} + p_{3} p_{1}}{q^{2}} = 2^{2} - 2 \cdot (- 2) = 8, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2} = 8 q^{2} . \end{matrix}

(2)

Viszont

p_{1}

p_{2}

p_{3}

és

q

egész számok, tehát (1) csak akkor teljesülhet, ha valamennyi

p_{i}

páros, vagy ha a

p_{i}

-k közt 2 db páratlan és 1 db páros szám van. Ha ez utóbbi eset állna fenn, akkor

p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2} = 4 k + 2

lenne, mert páros szám négyzete

4 l

alakú, míg páratlan szám négyzete

4 l + 1

alakú, ez viszont ellentmond (2)-nek. Ha valamennyi

p_{i}

páros, azaz felírható

2 p_{i}'

; alakban, az (1) és (2) összefüggésekből

\begin{matrix} p_{1}' + p_{2}' + p_{3}' = q; p_{1}'^{2} + p_{2}'^{2} + p_{3}'^{2} = 2 q^{2} . \end{matrix}

Ekkor viszont

\begin{matrix} {(p_{1}' + p_{2}' + p_{3}')}^{2} = p_{1}'^{2} + p_{2}'^{2} + p_{3}'^{2} + 2 (p_{1}' p_{2}' + p_{2}' p_{3}' + p_{3}' p_{1}') = \\ = 2 (q^{2} + p_{1}' p_{2}' + p_{2}' p_{3}' + p_{3}' p_{1}') . \end{matrix}

Vagyis

{(p_{1}' + p_{2}' + p_{3}')}^{2} = q^{2}

páros. Tehát

q

páros szám, a

\frac{p_{1}}{q}

;

\frac{p_{2}}{q}

;

\frac{p_{3}}{q}

törteknek van

q

-nál kisebb közös nevezőjük, nevezetesen

q / 2

, szemben kiinduló feltevésünkkel. Ezzel beláttuk, hogy a

p (x) + c = x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + c

polinomnak nem lehet 3 racionális gyöke.

Kiss György (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)