Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.323	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kende Ágnes
Füzet:	1980/május, 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lefedések, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/szeptember: Pontversenyen kívüli P.323

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nem feltétlenül. Ennek bizonyításához elegendő megadnunk egy, a feltételeknek megfelelő lefedést, amely bizonyos valós számot fedetlenül hagy.
Jelöljük $r_{n}$ -nel a sorozatba rendezett racionális számok közül az $n$ -ediket, az őt lefedő $1 / n$ hosszúságú nyílt intervallum bal végpontja legyen $b_{n}$ , jobb végpontja $j_{n}$ . Vagyis

\begin{matrix} j_{n} - b_{n} = \frac{1}{n} és b_{n} < r_{n} < j_{n} (n = 1, 2, 3, ...) . \end{matrix}

Tekintsük pl. a

\sqrt[]{2}

-t. Megadunk egy olyan másik lefedéssorozatot, amelyik a

\sqrt[]{2}

-t már nem fogja lefedni.
Ehhez csak azt kell tennünk, hogy az előbbi intervallumok közül azok helyett, amelyek

\sqrt[]{2}

-t is lefedik, újakat veszünk (ha ilyen intervallum nem volna, eleve készen vagyunk).

\begin{matrix} Ha \\ b_{n} < r_{n} < \sqrt[]{2} < j_{n}, & a & b'_{n} = \frac{r_{n} + \sqrt[]{2}}{2} - \frac{1}{n}, & j'_{n} = \frac{r_{n} + \sqrt[]{2}}{2}, \\ ha \\ b_{n} < \sqrt[]{2} < r_{n} < j_{n}, & a & b'_{n} = \frac{r_{n} + \sqrt[]{2}}{2}, & j'_{n} = \frac{1}{n} + \frac{r_{n} + \sqrt[]{2}}{2}, \end{matrix}

nyílt intervallumokat vegyük a régiek helyett. Ezek hossza

1 / n

r_{n}

-t továbbra is lefedik,

\sqrt[]{2}

-t viszont nem.
Ezzel a feladat kérdésére válaszoltunk.

Kende Ágnes (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján