Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.322	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1981/március, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Határozott integrál, Pontversenyen kívüli probléma, Exponenciális függvények, Trigonometrikus függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/május: Pontversenyen kívüli P.322

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az integrációs tartomány felett $0 \leq sin x \leq 1$ , a logaritmusa negatív, így ennek az abszolút értéke a ( $- 1$ )-szerese. Emiatt az (1) bal oldalán álló $I$ integrál értékére parciálisan integrálva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} I = - 2 \int_{0}^{π / 2} 1 \cdot ln sin x d x = - 2 {[x ln sin x]}_{0}^{π / 2} + 2 \int_{0}^{π / 2} x ctg x d x = \\ = {[x^{2} ctg x]}_{0}^{π / 2} + \int_{0}^{π / 2} {(\frac{x}{sin x})}^{2} d x . \end{matrix}

Mivel a kiintegrált rész ismét nullával egyenlő, elegendő belátni, hogy

O < x <

< π / 2

mellett

\begin{matrix} \frac{x}{sin x} < 1 + \frac{x^{2}}{4} \end{matrix}

(2)

hiszen emiatt

\begin{matrix} I < \int_{0}^{π / 2} {(1 + \frac{x^{2}}{4})}^{2} d x = \frac{π}{2} + \frac{1}{6} {(\frac{π}{2})}^{3} + \frac{1}{80} {(\frac{π}{2})}^{5} < \frac{π^{3}}{12} . \end{matrix}

Mivel a vizsgált tartományon

sin x

pozitív, (2) azt jelenti, hogy

0 < x < π / 2

mellett az

\begin{matrix} f (x) = (1 + \frac{x^{2}}{4}) sin x - x \end{matrix}

függvény pozitív. A

sin x

függvény ismeretes sorfejtése alapján

\begin{matrix} f (x) = - x + (1 + \frac{x^{2}}{4}) (x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - ...) = \\ = \frac{x^{2}}{4} [(1 - \frac{4}{2 \cdot 3}) x - (1 - \frac{4}{4 \cdot 5}) \frac{x^{2}}{3!} + (1 - \frac{4}{6 \cdot 7}) \frac{x + 5}{5!} - ...] . \end{matrix}

Állítsuk itt párba a szomszédos, különböző előjelű tagokat. Ha kiemeljük a bennük közös

x^{n} / n

! tagot, az

\begin{matrix} (1 - \frac{4}{(n + 1) (n + 2)}) - (1 - \frac{4}{(n + 3) (n + 4)}) \frac{x^{2}}{(n + 1) (n + 2)} \end{matrix}

különbség marad, elég megmutatni, hogy ez pozitív

n = 1

, 5, 9,

...

mellett. Ez viszont azt jelenti, hogy

\begin{matrix} x^{2} < (n + 3) (n + 4) \frac{n^{2} + 3 n - 2}{n^{2} + 7 n + 8} . \end{matrix}

n = 1

, a jobb oldal értéke 5/2, aminél a

π / 2

-nél kisebb pozitív

x

négyzete valóban kisebb, hiszen

π^{2} < 10

. A többi

n

érték mellett a jobb oldal értéke ennél lényegesen nagyobb, állításunkat ezzel beláttuk.