A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük -nel az -hez relatív prím, -nél kisebb természetes számok számát, -nel pedig osztóinak összegét. Határozzuk meg mindazokat a kitevőket, amelyekre teljesül. Könnyítésül eláruljuk, hogy osztója -nek. Megoldás. Legyen prímtényezős felbontása , ahol különböző prímszámok, pedig pozitív egészek. Ekkor | | (2) | (lásd pl. Molnár Emil: Matematikai versenyfeladatok, 490. o.). Ha most páratlan és , akkor (2) csak úgy állhat fenn, ha egyrészt (mivel páratlan), másrészt valamilyen pozitív egész -vel. Tudjuk, hogy csak úgy lehet prímszám, ha maga is kettőhatvány, az ilyen alakú számokat Fermat-féle prímeknek nevezzük. Azt kaptuk tehát, hogy | | (3) | ahol , valamint prímszám. (3)-ban a szorzást elvégezve | | (4) | Itt összesen tag szerepel, s mivel a -k különböző kettőhatványok, azért a kitevőben álló számok mind különbözők. Ez azt jelenti, hogy kettes számrendszerbeli alakjában hátulról számított -ik, -edik, -edik, -edik helyén áll -es, a többi helyen nulla. Térjünk most vissza az (1) összefüggéshez. Mivel osztói , , , , , ezért páratlan szám, melynek kettes számrendszerbeli alakjában az utolsó helyen -es áll. Ezért csak úgy állhat fönn, ha egyúttal a (4) alatti alakban is írható. S mivel egy számot kettes számrendszerben csak egyféleképpen lehet felírni, ez azt jelenti, hogy a számoknak meg kell egyezniük az , ,, számokkal. Ez pedig, mivel kettőhatvány, csak akkor lehetséges, ha , és . Ugyanakkor -nek prímszámnak kell lennie minden -re. A feladathoz adott útmutatás szerint nem prímszám, így csak az és esetek jönnek szóba, vagyis szóba jövő értékei , , , és . S mivel prímszám, ha , azért -nak ezek az értékei valóban teljesítik (1)-et. |