Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.312	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	G. C. Mohanty, India
Füzet:	1981/január, 24 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Numerikus és grafikus módszerek, Szinusztétel alkalmazása, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/december: Pontversenyen kívüli P.312

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $C O D ∢ = γ$ , $A C O ∢ = α$ , $B C O ∢ = β$ , $C$ vetülete az $O D$ egyenesre, $H$ . A $C H$ , $C A$ , ill. $C B$ szakaszok hozzá elöljük $h$ -val, $a$ -val, ill. $b$ -vel. Nyilván

\begin{matrix} h = r sin γ, a = C A_{2} + r, b = C B_{2} + r . \end{matrix}

Vezessük be az ún. polárkoordinátákat: a sík bármely

P

pontjához rendeljük hozzá a

C

ponttól való távolságát és azt a szöget, melyet úgy kapunk, hogy a

C P

félegyenest pozitív irányba elfordítjuk a

C O

félegyenesre. Ez a hozzárendelés egy-egyértelmű. A

P

pont polárkoordinátáit jelöljük

ϱ

-val

(= C P)

és

Θ

-val (

= O C P

,,pozitív irányú szög''). Könnyen látható,hogy

\begin{matrix} ϱ = 2 r cos Θ \end{matrix}

(1)

csak a kör,

\begin{matrix} ϱ = h / sin (γ - Θ) \end{matrix}

(2)

csak az

A_{1} B_{1}

egyenes és

\begin{matrix} ϱ = \frac{a b sin (α - β)}{a sin (α - Θ) + b sin (Θ - β)} \end{matrix}

(3)

csak az

A B

egyenes pontjaira érvényes. (1) és (2) triviális, (3)-nál a háromszög területére vonatkozó

t = \frac{1}{2} x y sin φ

öszzefüggést kell alkalmazni. A

T

pontra (2) és (3) teljesül, vagyis

\begin{matrix} \frac{h}{sin (γ - Θ)} = \frac{a b sin (α - β)}{a sin (α - Θ) + b sin (Θ - β)} \end{matrix}

igaz. Ebből

\begin{matrix} \frac{h}{sin (γ - Θ)} = \frac{a b sin (α - β)}{cos Θ (a sin α - b sin β) + sin Θ (b cos β - a cos α)} \end{matrix}

(4)

Célunk

δ = 2 γ / 3 - Θ

vizsgálata, ez jellemző ugyanis a szögharmadolás pontosságára.
Vezessük be az

m, p, n, q

új változókat a következő módon:

\begin{matrix} m = \frac{a b sin (α - β)}{r^{2}}, n = m ctg γ, p = \frac{b sin β - a sin α}{r}, q = \frac{b cos β - a cos α}{r} . \end{matrix}

(5)

Ekkor

\begin{matrix} tg Θ = \frac{m + p}{n + q} . \end{matrix}

(6)

a, b, α, β

értékek

γ

-val és

r

-rel kifejezhetők, így (5), majd (6) segítségével ugyanez igaz

Θ

-ra is.
Ugyanis(1)-ből

\begin{matrix} a = 2 r cos α + r = r (1 + 2 cos α), \\ (7a) \\ b = 2 r cos β + r = r (1 + 2 cos β) . \end{matrix}

C O A_{1}

és

C O B_{1}

háromszögekre alkalmazva a sinustételt a

\begin{matrix} sin α = 2 sin (γ - α) \\ sin β = 5 / 3 sin (γ - β) \end{matrix}

öszzefüggéseket kapjuk. Ezekből

\begin{matrix} sin α = \frac{2 sin γ}{P}; cos α = \frac{1 + 2 cos γ}{P}; \\ sin β = \frac{5 sin γ}{Q}; cos β = \frac{3 + 5 cos γ}{Q}; & (7b) \\ sin (α - β) = \frac{sin γ}{P \cdot Q} \end{matrix}

egyenlőségeket kapjuk, ahol

\begin{matrix} P^{2} = 5 + 4 cos γ és Q^{2} = 34 + 30 cos γ . \end{matrix}

Adott

γ

esetén

Θ

(s így

δ

) kiszámítása tehát a következőképpen történhet:
1. (7b)-ből kiszámítjuk a

sin α, sin β, cos α, cos β, sin (α - β)

értékeket,
2. ezek után(7a)-ból

a

és

b

számítható,
3. végül (5) segítségével

m, p, n, q

, majd (6)-ból

Θ

kifejezhető. A

γ_{i} = \frac{π}{2} \cdot \frac{i}{100} (i = 1, 2, ..., 100)

értékekre

δ_{i}

-t kiszámolva a következőket kapjuk (négy tizedesjegy pontossággal):

\begin{matrix} γ_{1} = 0, 0157, & γ_{2}, ..., y_{52} = 1, 6336 esetén δ = 0 \\ γ_{53}, & γ_{54} ..., γ_{65} esetén δ = 0, 0001 (radián) \\ γ_{66}, & γ_{67} ..., γ_{73} esetén δ = 0, 0002 \\ γ_{74}, & γ_{75} ..., γ_{80} esetén δ = 0, 0003 \approx 0^{\circ} 1' \\ γ_{81}, & γ_{82} ..., γ_{85} esetén δ = 0, 0004 \\ γ_{86}, & γ_{87} ..., γ_{92} esetén δ = 0, 0005 \\ γ_{93}, & γ_{94} ..., γ_{100} = \frac{π}{2} esetén 0, 0006 \end{matrix}

Azt tapasztaljuk tehát,hogyha

γ

nő, úgy

δ

is nő. Mivel

γ = \frac{π}{2}

esetén

δ = 0, 0006

, ezért hegyesszög esetén azt találjuk,hogy

δ \leq 0, 0006

G. C. Mohanty, India

Megjegyzés. 1. A megoldás utolsó lépésében nem ,,bizonyítottunk'', hanem egyszerű számítástechnikai módon kiszámoltuk: adott

γ

-hoz mekkora

δ

tartozik.
2. A feladatra nem érkezett megoldás.