Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.308	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Boros Tamás , Erdélyi Tamás , Hajnal Péter , Nagy Gábor , Németh Zoltán , Umann Gábor , Varga József , Varga Lívia
Füzet:	1979/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Irracionális számok és tulajdonságaik, Különleges függvények, Konstruktív megoldási módszer, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/október: Pontversenyen kívüli P.308

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Minden $x$ valós számhoz rendeljük azt az $n$ egész számot, amelyre $(x + n \sqrt[]{2})$ racionális, és rendeljünk hozzá $\frac{1}{2}$ -et, ha nincs ilyen $n$ egész. Megmutatjuk, hogy ez a hozzárendelés egyértelmű. Tegyük fel ugyanis, hogy valamely $x$ számhoz van két különböző $n_{1}$ és $n_{2}$ egész úgy, hogy

\begin{matrix} x + n_{1} \sqrt[]{2} = r_{1} és x + n_{2} \sqrt[]{2} = r_{2}, \end{matrix}

ahol

r_{1}

és

r_{2}

racionális számok,

n_{1}

és

n_{2}

különböző egészek. Ekkor

\begin{matrix} \sqrt[]{2} = \frac{r_{1} - r_{2}}{n_{1} - n_{2}} \end{matrix}

adódik, ami nem lehet, mert

\sqrt[]{2}

irracionális.
A megadott hozzárendelés tehát függvény. Megmutatjuk, hogy ennek az

f

függvénynek minden pozitív racionális szám periódusa. Ha

f (x) = n (n = 0, \pm 1, \pm 2, ...)

, akkor

\begin{matrix} x + n \sqrt[]{2} = r_{1}, \end{matrix}

ahol

r_{1}

racionális. Legyen

ε

egy tetszőleges pozitív racionális szám! Ekkor

x + ε + n \sqrt[]{2} = r_{1} + ε = r_{2}

racionális szám, tehát

\begin{matrix} f (x) = f (x + ε) = n . \end{matrix}

f (x) = \frac{1}{2}

, ez azt jelenti, hogy tetszőleges

n

egészre

x + n \sqrt[]{2}

irracionális. Ebből következik, hogy ha

ε > 0

tetszőleges racionális szám, akkor

x + ε + n \sqrt[]{2}

is irracionális bármely

n

-re, tehát

\begin{matrix} f (x) = f (x + ε) = \frac{1}{2} . \end{matrix}

f (x)

függvény minden

n

egész értéket felvesz az

x = r_{1} - n \sqrt[]{2}

helyen (ahol

r_{1}

racionális szám), tehát végtelen sok értékű, továbbá minden pozitív racionális

ε

periódusa, és ez nyilván tetszőlegesen kicsi lehet.

Varga József (Csongrád, Batsányi J. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Legyen

x

tetszőleges valós szám és

f (x) = i

, ha

x

tízes számrendszerbeli alakjában a tizedesvessző utáni

i

-edik számjegy páratlan és az utána következők mind párosak; és legyen

f (x) = - 1

, ha ilyen számjegy nincs. Például

f (1) = - 1

f (1,1) = 1

f (1,2176) = 3

. Az

f

függvény értékkészletéhez minden pozitív egész szám hozzátartozik, és azt is könnyű látni, hogy ha

n

pozitív egész, akkor a függvénynek

2 \cdot 10^{- n}

periódusa.

Boros Tamás (Eger, Gárdonyi G. Gimn., IV. o. t.)