A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Minden valós számhoz rendeljük azt az egész számot, amelyre racionális, és rendeljünk hozzá -et, ha nincs ilyen egész. Megmutatjuk, hogy ez a hozzárendelés egyértelmű. Tegyük fel ugyanis, hogy valamely számhoz van két különböző és egész úgy, hogy ahol és racionális számok, és különböző egészek. Ekkor adódik, ami nem lehet, mert irracionális. A megadott hozzárendelés tehát függvény. Megmutatjuk, hogy ennek az függvénynek minden pozitív racionális szám periódusa. Ha , akkor ahol racionális. Legyen egy tetszőleges pozitív racionális szám! Ekkor racionális szám, tehát Ha , ez azt jelenti, hogy tetszőleges egészre irracionális. Ebből következik, hogy ha tetszőleges racionális szám, akkor is irracionális bármely -re, tehát Az függvény minden egész értéket felvesz az helyen (ahol racionális szám), tehát végtelen sok értékű, továbbá minden pozitív racionális periódusa, és ez nyilván tetszőlegesen kicsi lehet.
Varga József (Csongrád, Batsányi J. Gimn., IV. o. t.)
II. megoldás. Legyen tetszőleges valós szám és , ha tízes számrendszerbeli alakjában a tizedesvessző utáni -edik számjegy páratlan és az utána következők mind párosak; és legyen , ha ilyen számjegy nincs. Például , , . Az függvény értékkészletéhez minden pozitív egész szám hozzátartozik, és azt is könnyű látni, hogy ha pozitív egész, akkor a függvénynek periódusa.
Boros Tamás (Eger, Gárdonyi G. Gimn., IV. o. t.) |