Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.301	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Cseri István , Erdélyi Tamás , Kovács 683 Zoltán , Lukács Erzsébet , Sali Attila , Szabó 284 Sándor
Füzet:	1980/január, 28 - 29. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletek, Determinánsok, Determinánsok - lineáris egyenletrendszerek, Nevezetes determinánsok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/április: Pontversenyen kívüli P.301

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Indirekt módon bizonyítunk. Tegyük fel, hogy $A = 0$ . Tekintsük az

\begin{matrix} a y_{1} + a^{2} y_{2} + a^{3} y_{3} + ... + a^{n} y_{n} = 0 \\ a^{2} y_{1} + a^{4} y_{2} + a^{6} y_{3} + ... + a^{2 n} y_{n} = 0 \\ a^{3} y_{1} + a^{6} y_{2} + a^{9} y_{3} + ... + a^{3 n} y_{n} = 0 \\ ⋮ & (1) \\ a^{l} y_{1} + a^{2 l} y_{2} + a^{3 i} y_{3} + ... + a^{n i} y_{n} = 0 \\ ⋮ \\ a^{n} y_{1} + a^{2 n} y_{2} + a^{3 n} y_{3} + ... + a^{n^{2}} y_{n} = 0 \end{matrix}

egyenletrendszert. Ennek a determinánsa éppen az

A

determináns. Ismeretes, hogy

A

akkor és csak akkor

0

, ha a felírt egyenletrendszernek van nem triviális megoldása, azaz ha léteznek olyan

y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}

számok, melyek (1)-et kielégítik, és nem mindegyikük nulla. Ez ugyanakkor azt is jelenti, hogy a

\begin{matrix} P (x) = y_{1} x + y_{2} x^{2} + y_{3} x^{3} + ... + y_{n} x^{n} = 0 \end{matrix}

polinomnak az

a, a^{2}, ..., a^{n}

számok, vagyis

n

db különböző szám gyöke

(a^{i} \neq a^{j}

, ha

a \neq 0

és a

a \neq \pm 1)

. Mivel a

P (x)

polinom

x (y_{1} + y_{2} x + ... + y_{n} x^{n - 1})

alakba írható és

a^{i} \neq 0 (i = 1,2, ..., n)

, ezért azt kapjuk, hogy a legfeljebb

(n - 1)

-ed fokú

(y_{1} + y_{2} x + ... + y_{n} x^{n - 1})

polinomnak

n

különböző gyöke van. (Ez azonban nem lehet, ezért

A \neq 0)

Lukács Erzsébet (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Legyen

A_{i} = a^{i} (i = 1,2, ..., n)

. Ekkor a vizsgált determináns az

\begin{matrix} A = | \begin{matrix} A_{1} & A_{1}^{2} & A_{1}^{3} & ... & A_{1}^{n} \\ A_{2} & A_{2}^{2} & A_{2}^{3} & ... & A_{2}^{n} \\ ⋮ \\ A_{n} & A_{n}^{2} & A_{n}^{3} & ... & A_{n}^{n} \end{matrix} | \end{matrix}

alakot ölti.
Leosztva a

0

-tól különböző

A_{1} A_{2} ... A_{n}

értékkel, a következőt kapjuk:

\begin{matrix} A = A_{1} A_{2} ... A_{n} | \begin{matrix} 1 & A_{1} & ... & A_{1}^{n - 1} \\ 1 & A_{2} & ... & A_{2}^{n - 1} \\ ⋮ \\ 1 & A_{n} & ... & A_{n}^{n - 1} \end{matrix} | \end{matrix}

Ez egy ún. Vandermonde-féle determináns, így

A

értéke:

\begin{matrix} A = A_{1} A_{2} ... A_{n} \prod_{1 ≦ i < k ≦ n}^{} (A_{k} - A_{i}) . \end{matrix}

(2)

Mivel

A_{i} = a^{i}

ezért ha

i \neq k

, akkor

\begin{matrix} A_{k} - A_{i} = a^{k} - a^{i} \neq 0, ha a \neq 0, + 1, - 1. \end{matrix}

így a (2) alatti szorzat, azaz

A

sem lehet nulla.

Erdélyi Tamás (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés.

a

-ról mindkét megoldásban csak annyit használtunk ki, hogy

- 1

-től,

1

-től és

0

-tól különböző valós szám.