Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.299	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1981/február, 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/március: Pontversenyen kívüli P.299

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $Q (x) = P (x - 1)$ polinomra (1) a $Q (x^{2} - 2 x + 1) = {(Q (x - 1))}^{2}$ feltételt jelenti, ami viszont ekvivalens a

\begin{matrix} Q (x^{2}) = {(Q (x))}^{2} \end{matrix}

(2)

feltétellel. Legyen

\begin{matrix} Q (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x^{i}, \end{matrix}

ahol

a_{n} \neq 0

, akkor (2) szerint

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x^{2 i} = {(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x^{i})}^{2} . \end{matrix}

(3)

x^{2 n}

tag együtthatója a bal oldalon

a_{n}

, a jobb oldalon

a_{n}^{2}

, ami

a_{n} \neq 0

miatt csak

a_{n} = 1

mellett teljesül. Megmutatjuk, hogy a többi együttható 0-val egyenlő. Ha ugyanis

a_{n}

után

a_{k}

volna az első nem nulla együttható, akkor a jobb oldalon

x^{n + k}

együtthatója 0-tól különböző volna, a bal oldalon viszont 0 lenne.
Tehát (2) megoldásai a

Q (x) = x^{n}

polinomok, így (1) megoldásai a

P (x) = {(x + 1)}^{n}

polinomok, tetszőleges

n

kitevővel.