Megmutatjuk, hogy már 9 nyelv is kiválasztható a kívánt módon. Bármekkora is a feladatban szereplő $n$, és bárhogy veszünk is ki ($n+1$)-et a szóban forgó nyelvek közül, biztosan mindenki beszéli ezek valamelyikét, hiszen a választottakon kívül $n$-nél kevesebb nyelv van, és mindenki $n$ nyelvet beszél. Az $n<9$ esetben ebből már következik állításunk, hiszen veszünk ($n+1$)-et a szóban forgó nyelvek közül, és ha ez kisebb 9-nél, hozzájuk veszünk tetszés szerint ($8-n$) nyelvet.
Ha $n\ge 9$, tekintsük a $2n$ nyelvből kiválasztható 9 elemű részhalmazokat. Nevezzük ezeket blokkoknak, a számuk $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{9}\right)$. Mondjuk azt, hogy egy dolgozó elront egy blokkot, ha a benne szereplő nyelvek egyikét sem beszéli. Készen vagyunk, ha megmutatjuk, hogy az összes dolgozó együttesen sem tudja elrontani az összes blokkot. Mivel egy dolgozó legfeljebb $n$ nyelvet nem beszél, egy dolgozó legfeljebb $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{9}\right)$ blokkot ronthat el. Ha mind különböző blokkot rontanak is el, ez összesen legfeljebb $500\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{9}\right)$ blokk. Azt kell tehát megmutatnunk, hogy ha $n\ge 9$, akkor