Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.294	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Erdélyi Tamás , Lukács Erzsébet , Sali Attila , Vágvölgyi Sándor
Füzet:	1978/április, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Indirekt bizonyítási mód, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/december: Pontversenyen kívüli P.294

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt állítjuk, hogy az egyenletrendszernek csak az $x_{i} = 0$ $(i = 1, 2, ..., n)$ megoldása van. Tegyük fel, hogy ez nem igaz, és legyen $x_{i} \neq 0$ az (egyik) maximális értékű gyök. Az egyenletrendszer $i$ -edik egyenletéből

\begin{matrix} | a_{i i} x_{i} | = | a_{i 1} x_{1} + ... + a_{i, i - 1} x_{i - 1} + a_{i, i + 1} x_{i + 1} + ... + a_{i n} x_{n} | \leq | a_{i 1} | \cdot | x_{1} | + \\ + ... + a_{i n} | \cdot | x_{n} | \leq | x_{i} | \cdot (a_{i 1} + ... + a_{i n}), & (2) \end{matrix}

mivel

a_{i j}

pozitív és

| x_{i} |

maximális. (2) elején és végén is

\frac{1}{2}

| x_{i} |

áll, így (2)-ben végig egyenlőségnek kell állnia. Ennek feltétele, hogy az összes

x_{j}

(esetleg

x_{i}

kivételével) egyező előjelű legyen, és

\begin{matrix} | x_{1} | = | x_{2} | = ... = | x_{n} | . \end{matrix}

Mindegyik ismeretlen abszolút értéke egyenlő, így a fentieket egy

x_{i}

-től különböző

x_{j}

-vel elmondva kapjuk, hogy

n \geq 3

miatt az összes gyök előjele is megegyezik, azaz a gyökök egyenlőek. Ekkor viszont például (1) első egyenletéből

\begin{matrix} a_{11} + a_{12} + ... + a_{1 n} = 0 \end{matrix}

ellentétben a b) feltétellel.

Sali Attila (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A megoldásban nem használtuk ki, hogy minden oszlopban is 1 az együtthatók összege, ez a feltétel felesleges.