A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Azt kell belátnunk, akárhogyan helyezünk is el a rácspontokra 61 piros és 60 kék korongot, biztosan alakul ki vagy piros vagy kék ,,jó útvonal''. Egészítsük ki ábránkat az ábrán látható módon.
Az ábrán jelölt háromszögekbe egy-egy kör-, négyzet-, háromszög- és csillagfejű robotot állítottunk. A kiegészített rombusz szélein elhelyezkedő rácspontokra a jelzett színű korongokat helyeztük. Indítsuk útnak a körfejű robotot a következő paranccsal: -ből -be menj át ‐ ha tudsz ‐, de csak olyan oldalon léphetsz át, amelynek végeiben más színű korongok vannak, továbbá csak olyan háromszögbe léphetsz be, ahol addig még nem jártál. Vegyük észre a következőket: 1. A robot bal oldalán mindig kék, jobb oldalán mindig piros korongot lát (pontosabban ez így fogalmazható: a menetirányba mutató egységvektort mindig pozitív irányba kell elforgatni, hogy az éppen átlépett oldal piros csúcsából a kék felé mutató egységvektort kapjuk meg). 2. A robot csak a csillag- vagy a négyzetfejű robot háromszögében akadhat meg.
1. nyilvánvaló, 2. a következő módon látható be: a) Ha belépett az oldalon át (l. az ábrát), az háromszögbe, akkor színétől függően vagy a vagy az háromszög felé folytathatja útját (ahol viszont nem járhatott régebben, mert abból csak háromszögbe juthatna be, itt pedig most jár először). b) Az a) alatt mondottak csak a robotokat tartalmazó háromszögekre nem érvényesek, mert azoknak ‐ és csak azoknak ‐ van egy-egy ,,piros‐kék'' oldaluk a kiegészített rombusz szélén. c) A háromszögfejű robotnál sem akadhatott meg, mert odaérkezésekor bal oldalán piros, jobb oldalán kék korong lenne, ellentétben az 1. alatti megállapításunkkal. Az a), b) és c)-ben mondottakból következik a 2. állításunk: 1.-ből és 2.-ből azonnal belátható, hogy ha a -fejűnél akad el ,,piros út'', ha a -fejűnél akad el, ,,kék út'' létezik. Megjegyzés. A játék neve hex. Abból, hogy a játék döntetlenül nem végződhet, könnyű megmutatni, hogy a kezdő játékosnak van nyerő stratégiája. Azonban ez a stratégia nem ismeretes. A hex játékról és a hozzá kapcsolódó érdekességekről a J. Nievergelt ‐ J. C. Farrar ‐ E. M. Reingold: Matematikai problémák megoldásainak számítógépes módszerei című érdekes könyvben lehet olvasni. |