|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.292 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ármós Lajos , Erdélyi Tamás , Hajnal Péter , Horváth 619 Miklós , Lukács Erzsébet , Nagy 691 Tamás , Szalkai István , Vágvölgyi Sándor |
Füzet: |
1978/május,
211 - 212. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvényvizsgálat, Indirekt bizonyítási mód, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1977/november: Pontversenyen kívüli P.292 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük -nel azoknak az természetes számoknak a halmazát, amelyekre és -mel azokét, amelyekre Megmutatjuk, hogy üres, vagyis (2) minden -re teljesül. Ellenkező esetben legyen ugyanis az függvényértékek minimuma . Mivel (3) szerint ez is természetes szám, és erre (1)-et alkalmazva azt kapjuk, hogy Az helyen tehát az értéke kisebb -nél, így csak -beli lehet, azaz . Így is kisebb -nál, és is -beli. Ebből viszont (2) és (4) alapján következne, ami összeegyeztethetetlen az előbb kapott következménnyel. Ezzel beláttuk, hogy (2) minden természetes számra teljesül. Alkalmazva (2)-t az számra kapjuk, hogy , ezt (1)-gyel összevetve adódik, tehát a függvény szigorúan monoton növekvő. Ha volna olyan , amelyre (2)-ben egyenlőtlenség állna, arra csak lehetne, hiszen mellett (1) nem lehetne igaz. Ekkor viszont (1) az szigorúan növekvő volta miatt nem teljesülhetne, tehát (2)-ben minden természetes számra az egyenlőség érvényes. |
|