Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.291	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Erdélyi Tamás
Füzet:	1978/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/november: Pontversenyen kívüli P.291

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyításhoz felhasználjuk Lagrange tételét (Ld. pl. Molnár Emil: Matematikai versenyek 523. old.):
Ha az $f (x)$ függvény az $[a, b]$ zárt intervallumban folytonos, az $(a, b)$ nyílt intervallumban differenciálható, akkor van legalább egy olyan $c$ hely, melyre

\begin{matrix} f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} (a < c < b) . \end{matrix}

Legyen most

k = a + \frac{b - a}{6} = \frac{5 a + b}{6}

. Nyilván

\frac{6 a}{6} = a < \frac{5 a + b}{6} < \frac{6 b}{6} = b

, hiszen

a < b

. Írjuk fel Lagrange tételét az

[a, k]

és a

[k, b]

zárt intervallumokra; ezt megtehetjük, mivel a tétel feltételei teljesülnek.
Ekkor alkalmas

c_{1}

-re és

c_{2}

-re:

\begin{matrix} a < c_{1} < k, f' (c_{1}) = \frac{f (k) - f (a)}{k - a} \end{matrix}

és

\begin{matrix} k < c_{2} < b, f' (c_{2}) = \frac{f (b) - f (k)}{b - k} . \end{matrix}

Itt

c_{1} \neq c_{2}

, mert

c_{1} < k < c_{2}

, továbbá

c_{1}

is és

c_{2}

is az

(a, b)

nyílt intervallumban fekszenek, így a két különböző

c_{1}

és

c_{2}

helyre:

a < c_{1} < k < c_{2} < b

. Továbbá

k

megválasztása miatt

\begin{matrix} f' (c_{1}) + 5 f' (c_{2}) = \frac{f (k) - f (a)}{k - a} + 5 \frac{f (b) - f (k)}{b - k} = \frac{6 (f (b) - f (a))}{b - a} = 0, \end{matrix}

mivel

f (a) = f (b)

.
Így

x = c_{1}

és

y = c_{2}

(c_{1} \neq c_{2})

választások megfelelőek. Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzés. Hasonló feltételek mellett ‐ megfelelő

k

érték megválasztásával ‐ az

\begin{matrix} α f' (x) + β f' (y) = 0 \end{matrix}

egyenletre is találhatunk megoldást (

α ≧ 0

β ≧ 0

valós számok

a < x < y < b

Erdélyi Tamás (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)