Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.286	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balázs I. , Hajnal P. , Nagy Gy. , Pethő A. , Ráth Gy. , Vágvölgyi S. , Wolfgang Moldenhauer
Füzet:	1982/május, 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Határozott integrál, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/május: Pontversenyen kívüli P.286

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} \int_{0}^{1} x^{p} {(1 - x)}^{q} d x = \frac{p! q!}{(p + q + 1)!}, \end{matrix}

(1)

ahol

p

q

természetes számok!

Megoldás. Legyenek

f

és

g

deriválható függvények, és tegyük fel, hogy

f'

és

g'

is folytonos. Ekkor

\begin{matrix} \int_{a}^{b} f' g d x = {[f g]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f g' d x . \end{matrix}

Ez az ún. parciális integrálás szabálya (lásd pl. Bárczy Barnabás: Integrálszámítás, Műszaki Könyvkiadó, 1973). Ezt alkalmazva az

f' (x) = x^{p}, g (x) = {(1 - x)}^{q}

függvényekre:

\begin{matrix} \int_{0}^{1} x^{p} {(1 - x)}^{q} d x = {[\frac{1}{p + 1} x^{p + 1} {(1 - x)}^{q}]}_{0}^{1} + \frac{q}{p + 1} \int_{0}^{1} x^{p + 1} {(1 - x)}^{q - 1} d x = \\ = \frac{q}{p + 1} \int_{0}^{1} x^{p + 1} {(1 - x)}^{q - 1} d x . \end{matrix}

Ezt ismételten alkalmazva kapjuk, hogy a keresett integrál értéke

\begin{matrix} \frac{q}{p + 1} \cdot \frac{q - 1}{p + 2} \cdot ... \cdot \frac{1}{p + q} \int_{0}^{1} x^{p + q} d x = \frac{q! p!}{(p + q)!} \cdot \frac{1}{p + q + 1}, \end{matrix}

ami éppen (1) jobb oldalával egyezik meg.

Wolfgang Moldenhauer (Eisenach, NDK)