Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.285	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1980/április, 167 - 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/május: Pontversenyen kívüli P.285

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg a feladatot először $n = 1$ esetén. Ekkor az egyenlőtlenség az

\begin{matrix} a c + b c - a b \leq m c \end{matrix}

alakot ölti, ahol

m = max (a, b, c)

. Ha

c \leq b

, akkor

a c \leq a b

és

b c \leq m c

, és ezek összeadásából adódik a bizonyítandó egyenlőtlenség. Ha

c > b

, akkor ennek és a

c - a \leq m - a

egyenlőtlenségnek a szorzásával kapjuk a kívánt egyenlőtlenséget.
Térjünk rá most az általános esetre. Legyen

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = A, \sum_{i = 1}^{n} b_{i} = B, \sum_{i = 1}^{n} c_{i} = C . \end{matrix}

Rögzítve a

b_{i}

és a

c_{i}

változókat

(i = 1, 2, ..., n)

, az egyenlőtlenség bal oldala az

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

változók lineáris függvénye. Lineáris függvény a maximumát egy tartományban csak olyan pontban veheti fel, amely nem belső pontja egyetlen, a tartományban haladó egyenes szakasznak sem. A tartomány jelen esetben a

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = A, a_{i} \geq 0 (i = 1, 2, ..., n) \end{matrix}

feltételekkel van definiálva, azaz az

n

-dimenziós szimplex egy lapja. Az előbbi feltételnek csak a szimplex csúcsai (az origót kivéve) tesznek eleget, azaz a kifejezés a legnagyobb értékét valamely (0, 0,

...

, 0,

A

, 0,

...

, 0) pontban veszi fel, és ekkor az értéke, pontosabban legyen

a_{j} = A

és

a_{i} = 0 (i \neq j)

, akkor a kifejezés értéke

\begin{matrix} A \sum_{i = 1}^{j} c_{i} + \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{k} b_{i} c_{k} - A \sum_{i = 1}^{j} b_{i} . \end{matrix}

Rögzítsük most a

c_{1}

c_{2}

...

c_{n}

számokat, a

b_{1}

b_{2}

...

b_{n}

változókat tekintve ismét egy lineáris függvényt kapunk, amelyre az előző gondolatmenet megismételhető: valamilyen

l

-re

b_{l} = B

b_{i} = 0 (i \neq l)

helyettesítéssel növeljük a kifejezés értékét. Ha

l > j

, akkor

\begin{matrix} A \sum_{i = 1}^{j} c_{i} + B \sum_{k = l}^{n} c_{k} \leq M \sum_{k = 1}^{n} c_{k} \end{matrix}

adódik, ha

l \leq j

, akkor az

\begin{matrix} A \sum_{i = 1}^{j} c_{i} + B \sum_{k = l}^{n} c_{k} - A B \end{matrix}

kifejezést kapjuk. Ez utóbbira még egyszer ismételjük meg a módszerünket, legyen

c_{m} = C

c_{i} = 0

(i \neq m)

. Akkor

m < l

esetén

A C

m > j

esetén pedig

B C

majorálja a kifejezést, és egyik sem nagyobb, mint

M C

. Elég tehát

l \leq m \leq j

esettel foglalkozni, ekkor a kifejezés értéke

\begin{matrix} A C + B C - A B, \end{matrix}

amiről az első részben beláttuk, hogy nem nagyobb

M C

-nél.

B. P.