A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Alakítsuk át először a binomiális együtthatók szorzatát | | Az itt fellépő tényezők egyenlőek az sorozat első tagjának a szorzatával: | | Emiatt | | Vezessük be az , és jelöléseket, akkor tehát a vizsgálandó sorozat négyzete szám mértani közepével egyenlő, amelyek közül az -lal, az -gyel, általában az -vel egyenlő. Mivel az sorozat monoton nő, és a határértéke, ebből következik, hogy , elegendő belátni, hogy tetszőleges -hoz található olyan , hogy , ha . Valóban, | | és itt a második szorzat minden tényezője legalább , így elég belátni, hogy az első szorzat minden tényezője tart -hez, midőn tart a végtelenbe. Ez viszont az exponenciális függvény folytonossága miatt igaz, hiszen az tag kitevője tart -hoz, így a hatvány valóban tart -hez.
Megjegyzések. 1. Hasonlóan látható be, hogy az számok mértani közepe, is tart -hez, tehát értékére jó közelítést kapunk, ha az hányados -edik hatványát vesszük. Pontosabb becslést ad a következő egyenlőtlenség: | |
2. Az exponenciális függvényt tetszőleges alap mellett értelmezhetjük az összes valós -re, az alap mellett a függvény állandó, mellett monoton növő, mellett monoton fogyó. A összefüggés alapján elég egy alap, mondjuk mellett vizsgálni a függvényt.
Az sorozat konvergenciája alapján belátható, hogy az függvény deriváltja sajátmaga, emiatt az alapú deriváltja . A fenti feladatban vizsgált sorozat logaritmusa a függvény intervallum feletti integráljának közelítő összege, határértéke ennek alapján is meghatározható. |
|