Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.277	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Balázs Iván József , Seress Ákos
Füzet:	1978/december, 216 - 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/január: Pontversenyen kívüli P.277

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen

\begin{matrix} F = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}, G = \sum_{j = 0}^{m} b_{j} x^{j} \end{matrix}

(1)

tetszőleges megoldása

(a_{n} \neq 0, b_{m} \neq 0)

. Ha

m ≦ 1

, az idézett megoldásban beláttuk, hogy

F

és

G

csak

\pm f_{m},

\pm g_{m}

lehet. (A feladat szövege kicsit pontatlan,

F

nyilván

- f_{0}

is lehet.) Ha

m ≧ 2

, akkor

n ≧ 1

, és mivel

(1)

-ben mindkét polinomnak a négyzete szerepel, feltehetjük, hogy

a_{n} > 0

b_{m} > 0

. Ekkor

(1)

csak

m = n - 2

, és

a_{n} = b_{m}

mellett teljesülhet. Mivel

(f_{1}, - g_{1})

is gyöke

(1)

-nek, az idézett megoldás alapján

\begin{matrix} φ = f_{1} F - (x^{4} - 2 x) g_{1} G, ψ = f_{1} G - g_{1} F \end{matrix}

is gyöke

(1)

-nek. Megmutatjuk, hogy

ψ

G

-nél alacsonyabb fokú polinom. Az első négy együtthatója ugyanis rendre

(b_{m} - a_{n})

(b_{m - 1} - a_{n - 2})

(b_{m - 1} - a_{n - 2})

(b_{m - 3} - b_{m} - a_{n - 3})

és ezek mindegyike azért egyenlő

0

-val, mert

F^{2}

és

(x^{4} - 2 x) G^{2}

első négy együtthatója egyenlő egymással

(2 n ≧ 8)

.
Mivel a

(φ, ψ)

(f_{1}, g_{1})

megoldások "összeszorzásából'' épp az

F

G

megoldásokat kapjuk, ha

φ

ψ

eleme a mondott sorozatnak,

F

G

is eleme annak.
Ha nem ez volna a helyzet, hasonlóan tovább menve lépésről lépésre egyre alacsonyabb fokú polinomokat kapnánk, ami nyilván lehetetlen. A feladat állítását ezzel igazoltuk.