Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.276	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bodó Zalán , Erdélyi Tamás , Filakovszky Péter , Knébel István , Seress Ákos , Tankovits Tibor , Vágvölgyi Sándor
Füzet:	1978/november, 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Hatványösszeg, Természetes számok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/december: Pontversenyen kívüli P.276

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $A (k)$ -val azoknak a $k$ -nál nem nagyobb természetes számoknak a számát, amelyek nem állíthatók elő $n$ darab $n$ -edik hatvány összegeként, és legyen $B (k)$ azoknak a pozitív egészekből álló ( $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{n}$ ) szám- $n$ -eseknek a száma, amelyekre

\begin{matrix} a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + ... + a_{n}^{n} \leq k \end{matrix}

(1)

teljesül. Mivel itt

a_{i} < \sqrt[n]{k}

, ha például

k = {(m + 1)}^{n}

, akkor

B (k) \leq m^{n}

, és így

\begin{matrix} A (k) \geq k - B (k) \geq {(m + 1)}^{n} - m^{n} > n m^{n - 1} . \end{matrix}

Itt a jobb oldali kifejezés értéke tart végtelenbe, ha

m

minden határon túl nő, és mivel az

A (k)

sorozat monoton nő, ebből következik, hogy

A (k)

határértéke is végtelen.

Megjegyzés. Sokkal jobb becslés adható

A (k)

nagyságrendjére, ha

(1)

-nek csak az

\begin{matrix} a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{n} \end{matrix}

(2)

feltételnek eleget tevő megoldásait számláljuk le. Ez még akkor is lényegesen kisebb lesz

k

-nál, ha az

a_{i}

-k értéke

0

, vagy akár negatív szám is lehet. Ezen az úton akkor is igazolható a feladat állítása, ha benne ,,

n

-edik hatvány'' alatt tetszőleges egész szám

n

-edik hatványát értjük.