Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.272	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bodó Zalán , Hajnal Péter , Knébel István , Németh Csóka Mihály , Papp 513 Attila , Pósafalvi András , Sali Attila , Seress Ákos , Surány Gábor , Szabó 284 Sándor , Szegedy Márió , Tankovits Tibor , Tóth Csaba , Vágvölgyi Sándor , Vándor Tibor
Füzet:	1977/november, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Testek szinezése, Konstruktív megoldási módszer, Vektorok lineáris kombinációi, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/szeptember: Pontversenyen kívüli P.272

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Először belátjuk, hogy ha létezik a kívánt színezés, akkor $k$ csak páros lehet.
Vegyünk fel egy térbeli koordináta-rendszert, melyben az $i$ , $j$ és $k$ alapvektorok a kis kockák egy-egy élével párhuzamosak. Mindegyik kocka középpontjából indítsunk vektorokat a vele szomszédos és azonos színű kockák középpontjaiba. Ezen vektorok mindegyike nyilván az alapvektorok valamelyikével vagy ellentettjével egyenlő. Ha az $O_{1}$ kockaközéppontból indítottunk vektort az $O_{2}$ kockaközéppontba, akkor $O_{2}$ -ből is indítottunk $O_{1}$ -be. Ezért nyilvánvaló, hogy a $k^{3}$ db vektor összege nullvektor. Jelölje rendre $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ azon kis kockák számát $(a_{1} + a_{2} + a_{3} + b_{1} + b_{2} + b_{3} = k^{3})$ , amelyek középpontjaiból rendre $i$ , $j$ , $k$ , $-i$ , $-j$ , $-k$ vektort indítottunk. A mondottak miatt:

\begin{matrix} a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k + b_{1} (- i) + b_{2} (-j) + b_{3} (-k) = 0, azaz \\ (a_{1} - b_{1}) i + (a_{2} - b_{2}) j + (a_{3} - b_{3}) k = 0 . \end{matrix}

Tudjuk, hogy ez akkor és csak akkor lehet, ha

a_{1} = b_{1}

a_{2} = b_{2}

és

a_{3} = b_{3}

. Ez azt jelenti, hogy

k^{3} = 2 (a_{1} + a_{2} + a_{3})

, vagyis

k^{3}

páros, s így

k

is páros. Ezt akartuk belátni.
3. Most páros

k

-ra megadunk egy lehetséges színezést. Legyen

k = 2 l

. Vegyünk

2 l

db-ot az alábbi

2 l \times 2 l \times 1

hasábból. A hasáb kockáit az ábrán látható módon színezzük ki.

Ily módon egy kockának pontosan két vele azonos szomszédja lesz. Ezeket a négyzet alapú hasábokat helyezzük fokozatosan egymásra úgy, hogy

A

-val jelzett fölé

B

-vel jelzett,

B

-vel jelzett fölé

A

-val jelzett kerüljön. Ez az elhelyezési mód azt biztosítja, hogy bármely kocka felett és alatt ellenkező színű kocka lesz. Ezt a hasábról mondottakkal egybevetve következik, hogy jó színezést kaptunk.

Knébel István (Budapest, József A. Gimn.)