A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A korábban közölt megoldásnak (KÖMAL 1978/8‐9., 153‐155. oldal) az esettel foglalkozó része lényegében helyes. A esetben az még igaz, hogy monoton nő és monoton fogy (bár ennek bizonyításába is hiba ‐ talán sajtóhiba ‐ csúszott, hiszen most nem nagyobb -nél, hanem csakúgy, mint az részsorozat minden tagja, kisebb -nél is, és az részsorozat minden más tagjánál is). Ebből azonban ‐ még ha azt is felhasználjuk, hogy a sorozat korlátos ‐ csak annyi következik, hogy az részsorozat is konvergens és az részsorozat is konvergens, az azonban nem biztos, hogy a két sorozat határértéke megegyezik. Most ugyanis csak annyit tudunk a két részsorozat határértékéről a képzési szabály alapján, hogy ha őket rendre -val, -val jelöljük, akkor gyökei a egyenletrendszernek, ahol most is az függvényt jelöli. Amennyiben (1)-nek több gyökpárja van, azokra egyrészt nyilván , teljesül, másrészt a , határértékekről még azt is tudjuk, hogy épp az előbb említett összefüggés miatt. A megoldás első felében alkalmazott meggondoláshoz hasonlóan az is belátható, hogy az (1) gyökpárjai közül a az, amelyben a legkisebb, és ennek megfelelően a legnagyobb. Azt kell tehát megvizsgálnunk, van-e (1)-nek olyan gyökpárja, amelyben . Jelöljük inverzét -vel: . Mivel (1) első egyenlete alapján az egyenlet legkisebb gyöke, ennek az egyenletnek biztosan gyöke az
egyenletek egyetlen közös gyöke, a kérdés csak az, hogy itt az függvények képei milyen irányban metszik át egymást. Ha ugyanis , akkor miatt (2)-nek biztosan létezik -nál kisebb gyöke. Másrészt mivel és , azért pontosan akkor teljesül, ha , vagyis | |
Ebben az esetben az függvény -ra szigorúan monoton nő, hiszen deriváltjának -szerese | | tehát (2)-nek legfeljebb egy gyöke lehet. Összefoglalva, a vizsgált sorozat csak akkor konvergens, ha ha viszont , akkor az részsorozatok ugyan konvergensek, de határértékük különböző. Magyar Zoltán levele alapján |